| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить предел http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22329 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | DAG [ 27 фев 2013, 21:49 ] | |||
| Заголовок сообщения: | Вычислить предел | |||
Помогите пожалуйста,не могу додуматься.Как решить?
|
||||
| Автор: | erjoma [ 28 фев 2013, 08:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел |
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1} \right)\left( {{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{2}{3}}} + {{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} + 1} \right)}}{{\left( {{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x - 1} \right)\left( {{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{2}{3}}} + {{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\operatorname{tg} x - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x - 1}} = \hfill \\ = \left( {x = \frac{\pi }{4} + t} \right) = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\operatorname{tg} \left( {\frac{\pi }{4} + t} \right) - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}\left( {\frac{\pi }{4} + t} \right) - 1}} = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{{1 + \operatorname{tg} t}}{{1 - \operatorname{tg} t}} - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}\left( {1 + \frac{4}{\pi }t} \right)}} = \frac{2}{3}\ln \frac{\pi }{4}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\operatorname{tg} t}}{{\ln \left( {1 + \frac{4}{\pi }t} \right)}} = \frac{\pi }{6}\ln \frac{\pi }{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + x{2^x}}}{{1 + x{3^x}}}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{x\left( {{2^x} - {3^x}} \right)}}{{1 + x{3^x}}}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{x\left( {{2^x} - {3^x}} \right)}}{{1 + x{3^x}}}} \right)^{\frac{{1 + x{3^x}}}{{x\left( {{2^x} - {3^x}} \right)}} \cdot \frac{{{2^x} - {3^x}}}{{x\left( {1 + x{3^x}} \right)}}}} = \frac{2}{3}[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 28 фев 2013, 09:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел |
1) Предел необычный. Решаю графически: plot({(tan(x)^(1/3)-1)/(ln(x)/ln((1/4)*Pi)-1), -(1/6)*Pi*ln(4/Pi)}, x = 0 .. 1.0, thickness = 2); ![]() Вольфрам подтверждает: http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 4%29*Pi%29 |
|
| Автор: | Avgust [ 28 фев 2013, 10:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел |
1) Гораздо проще вывести ЭБМ числителя и знаменателя по формуле Тейлора в нулевой точке: [math]\sqrt[3]{tg(t+0.25\pi)}-1 \sim \frac {2t}{3}[/math] [math]\frac{\ln(t+0.25\pi)}{\ln(0.25\pi)}-1 \sim \frac{4t}{\pi \ln(0.25\pi)}[/math] Отношение этих ЭБМ сразу дает ответ. |
|
| Автор: | DAG [ 28 фев 2013, 13:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел |
erjoma Простите,а куды вы дели число e ? вы же по 2 замечательному пределу решали |
|
| Автор: | erjoma [ 28 фев 2013, 16:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел |
Avgust писал(а): 1) Гораздо проще вывести ЭБМ числителя и знаменателя по формуле Тейлора в нулевой точке: [math]\sqrt[3]{tg(t+0.25\pi)}-1 \sim \frac {2t}{3}[/math] [math]\frac{\ln(t+0.25\pi)}{\ln(0.25\pi)}-1 \sim \frac{4t}{\pi \ln(0.25\pi)}[/math] Отношение этих ЭБМ сразу дает ответ. Можно было применить правило Лопиталя [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{x\ln \frac{\pi }{4}}}{{3{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{2}{3}}}{{\left( {\cos x} \right)}^2}}} = \frac{\pi }{6}\ln \frac{\pi }{4}[/math] DAG писал(а): erjoma Простите,а куды вы дели число e ? вы же по 2 замечательному пределу решали [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - {3^x}}}{{x\left( {1 + x{3^x}} \right)}} = \ln \frac{2}{3}[/math] |
|
| Автор: | DAG [ 28 фев 2013, 19:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел |
спасибо всем |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|