| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить предел без использования правила Лопиталя http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22091 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | KNHOman [ 14 фев 2013, 05:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
Добрый день. Имеется предел: [math]\lim_{x \to 1}\frac{\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\\sin^{2}{\pi}\sqrt{x} \right) }}{\left( \operatorname{tg}{\left(\frac{\pi x}{4}}\right) -1 \right) ^{2}}[/math] Нужно решить без использования правила Лопиталя. Из-за arcctg в числителе не имеется никаких мыслей на что его можно заменить. |
|
| Автор: | Yurik [ 14 фев 2013, 09:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
[math]\operatorname{arcctg}\frac{1}{a}=\operatorname{arctg}a[/math] |
|
| Автор: | KNHOman [ 14 фев 2013, 10:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
Это пробовал. Как-то совсем не помогает. Дальше ведь не разложить и не заменить на эквивалентное. Единственное, что придумал - разложение в ряд Тейлора до первого слагаемого с x. В принципе, и в числителе, и в знаменателе это будет [math]\frac{ \pi ^ {2} }{ 4 } x ^{2}[/math], что дает единицу в ответе. Но такой метод кажется слишком пространным. |
|
| Автор: | mad_math [ 14 фев 2013, 11:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
KNHOman писал(а): Дальше ведь не разложить и не заменить на эквивалентное. Вообще-то, [math]\operatorname{arctg}x\sim x[/math] при [math]x\to 0[/math]
|
|
| Автор: | Avgust [ 14 фев 2013, 13:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
Если в окошке Вольфрама запустить график plot(arccot(1/sin^2(pi*sqrt(x)))/(tan(pi*x/4)-1)^2,x=0.999..1.001) то будет единица: Но у меня никак такое аналитически не получается
|
|
| Автор: | Human [ 14 фев 2013, 15:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
Вот с помощью эквивалентностей: [math]\operatorname{arctg}\left(\sin^2\pi\sqrt x\right)\sim\sin^2\pi\sqrt x=\sin^2\pi(\sqrt x-1)\sim\pi^2\left(\sqrt x-1\right)^2=\pi^2\left(\sqrt{1+(x-1)}-1\right)^2\sim\pi^2\left(\frac12(x-1)\right)^2=\frac{\pi^2(x-1)^2}4[/math] [math]\left(\operatorname{tg}\frac{\pi x}4-1\right)^2=\left(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi(x-1)}4+\frac{\pi}4\right)-1\right)^2=\left(\frac{1+\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4}{1-\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4}-1\right)^2=\frac{4\operatorname{tg}^2\frac{\pi(x-1)}4}{\left(1-\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4\right)^2}\sim\frac{\pi^2(x-1)^2}4[/math] Все эквивалентности брались, очевидно, при [math]x\to1[/math]. |
|
| Автор: | KNHOman [ 14 фев 2013, 15:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
Вот ведь. Теперь все ясно. |
|
| Автор: | Rambler79 [ 09 мар 2013, 09:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
Доброго времени суток! Н е поможете ли Исследовать на сходимость n^2/(3n)! Вроде ничего, вот если б только не факториал Примного благодарен |
|
| Автор: | Yurik [ 09 мар 2013, 10:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
Сходится по признаку Даламбера. [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {3n} \right)! \cdot \left( {3n + 3} \right)}}\frac{{\left( {3n} \right)!}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\left( {3n + 3} \right)}}{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^2} = 0 < 1[/math] |
|
| Автор: | Rambler79 [ 09 мар 2013, 14:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя |
Yurik писал(а): Сходится по признаку Даламбера. [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {3n} \right)! \cdot \left( {3n + 3} \right)}}\frac{{\left( {3n} \right)!}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\left( {3n + 3} \right)}}{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^2} = 0 < 1[/math] Я конечно польщен и нет границ моему изумлению. Но было бы еще лучше если бы вы чуток расписали. Детали не прошу (не то совестно, сам попытаюсь разобраться). Только вот откуда и как получилось знаменатель под (n+1)^2. С факториалом что-то "замутили", как я уже писал на верху я слаб с факториалом. А остальное мне понятно как 2*2=4 Спасибо |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|