Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить предел без использования правила Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22091
Страница 1 из 2

Автор:  KNHOman [ 14 фев 2013, 05:38 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить предел без использования правила Лопиталя

Добрый день.
Имеется предел:

[math]\lim_{x \to 1}\frac{\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\\sin^{2}{\pi}\sqrt{x} \right) }}{\left( \operatorname{tg}{\left(\frac{\pi x}{4}}\right) -1 \right) ^{2}}[/math]

Нужно решить без использования правила Лопиталя. Из-за arcctg в числителе не имеется никаких мыслей на что его можно заменить.

Автор:  Yurik [ 14 фев 2013, 09:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

[math]\operatorname{arcctg}\frac{1}{a}=\operatorname{arctg}a[/math]

Автор:  KNHOman [ 14 фев 2013, 10:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

Это пробовал. Как-то совсем не помогает. Дальше ведь не разложить и не заменить на эквивалентное.
Единственное, что придумал - разложение в ряд Тейлора до первого слагаемого с x. В принципе, и в числителе, и в знаменателе это будет [math]\frac{ \pi ^ {2} }{ 4 } x ^{2}[/math], что дает единицу в ответе. Но такой метод кажется слишком пространным.

Автор:  mad_math [ 14 фев 2013, 11:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

KNHOman писал(а):
Дальше ведь не разложить и не заменить на эквивалентное.
Вообще-то, [math]\operatorname{arctg}x\sim x[/math] при [math]x\to 0[/math]

Автор:  Avgust [ 14 фев 2013, 13:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

Если в окошке Вольфрама запустить график
plot(arccot(1/sin^2(pi*sqrt(x)))/(tan(pi*x/4)-1)^2,x=0.999..1.001)
то будет единица:

Но у меня никак такое аналитически не получается :(

Автор:  Human [ 14 фев 2013, 15:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

Вот с помощью эквивалентностей:

[math]\operatorname{arctg}\left(\sin^2\pi\sqrt x\right)\sim\sin^2\pi\sqrt x=\sin^2\pi(\sqrt x-1)\sim\pi^2\left(\sqrt x-1\right)^2=\pi^2\left(\sqrt{1+(x-1)}-1\right)^2\sim\pi^2\left(\frac12(x-1)\right)^2=\frac{\pi^2(x-1)^2}4[/math]

[math]\left(\operatorname{tg}\frac{\pi x}4-1\right)^2=\left(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi(x-1)}4+\frac{\pi}4\right)-1\right)^2=\left(\frac{1+\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4}{1-\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4}-1\right)^2=\frac{4\operatorname{tg}^2\frac{\pi(x-1)}4}{\left(1-\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4\right)^2}\sim\frac{\pi^2(x-1)^2}4[/math]

Все эквивалентности брались, очевидно, при [math]x\to1[/math].

Автор:  KNHOman [ 14 фев 2013, 15:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

Вот ведь. Теперь все ясно.

Автор:  Rambler79 [ 09 мар 2013, 09:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

Доброго времени суток!
Н е поможете ли Исследовать на сходимость
n^2/(3n)!

Вроде ничего, вот если б только не факториал
Примного благодарен

Автор:  Yurik [ 09 мар 2013, 10:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

Сходится по признаку Даламбера.
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {3n} \right)! \cdot \left( {3n + 3} \right)}}\frac{{\left( {3n} \right)!}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\left( {3n + 3} \right)}}{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^2} = 0 < 1[/math]

Автор:  Rambler79 [ 09 мар 2013, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя

Yurik писал(а):
Сходится по признаку Даламбера.
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {3n} \right)! \cdot \left( {3n + 3} \right)}}\frac{{\left( {3n} \right)!}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\left( {3n + 3} \right)}}{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^2} = 0 < 1[/math]

Я конечно польщен и нет границ моему изумлению. Но было бы еще лучше если бы вы чуток расписали. Детали не прошу (не то совестно, сам попытаюсь разобраться). Только вот откуда и как получилось знаменатель под (n+1)^2.
С факториалом что-то "замутили", как я уже писал на верху я слаб с факториалом. А остальное мне понятно как 2*2=4
Спасибо

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/