Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пределы последовательности и сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22038
Страница 1 из 1

Автор:  Mashulya [ 10 фев 2013, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Пределы последовательности и сходимость

Ребятки, нужно решить срочно срооочно :) пожалуйста, препожааалуйста** :blush:
Изображение

Автор:  Human [ 10 фев 2013, 20:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы последовательности и сходимость

Вы случайно с автором этой темы не учитесь вместе: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19636?
Больно задания похожи.

Автор:  Mashulya [ 10 фев 2013, 20:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы последовательности и сходимость

Human писал(а):
Вы случайно с автором этой темы не учитесь вместе: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19636?
Больно задания похожи.

Это с потока девочка :oops:

Автор:  Ellipsoid [ 10 фев 2013, 20:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы последовательности и сходимость

А у меня глаза расположены горизонтально...

Автор:  Avgust [ 10 фев 2013, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы последовательности и сходимость

Дааа. Аватара четче и приятней смотрится. Главное - понятней :D1

Можно помедленней и поLaTexней ?

Изображение

Автор:  Human [ 10 фев 2013, 20:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы последовательности и сходимость

Да, было бы хорошо, если бы Вы расположили картинку так, чтобы не пришлось поворачивать голову или делать ещё какие-либо лишние телодвижения. И освещение нужно сделать получше.

Покажу 2 в), оно кажется интересным.

▼ Решение
[math]x_1=5,\ x_{n+1}=\frac4{x_n}+3[/math]

Докажем по индукции, что [math]x_{2n-1}>4[/math]. При [math]n=1[/math] имеем: [math]x_1=5>4[/math] - выполнено.
Предположим, что при [math]n=k[/math] неравенство выполнено. Тогда

[math]x_{2k+1}=\frac4{\frac4{x_{2k-1}}+3}+3=\frac{13}3-\frac{16}{3(3x_{2k-1}+4)}>\frac{13}3-\frac{16}{3(3\cdot4+4)}=4[/math]

Неравенство доказано. Тогда с учётом этого неравенства получим:

[math]x_{2n+1}-x_{2n-1}=\frac{13x_{2n-1}+12}{3x_{2n-1}+4}-x_{2n-1}=-\frac3{3x_{2n-1}+4}(x_{2n-1}-4)(x_{2n-1}+1)<0[/math]

откуда [math]x_{2n+1}<x_{2n-1}[/math]. Итак, последовательность [math]x_{2n-1}[/math] монотонно убывает и ограничена снизу числом [math]4[/math], значит она сходится к некоторому числу [math]c[/math]. Значит и последовательность [math]x_{2n+1}[/math] сходится к этому же числу, поэтому, переходя к пределу в равенстве

[math]x_{2n+1}=\frac{13x_{2n-1}+12}{3x_{2n-1}+4}[/math]

получим

[math]c=\frac{13c+12}{3c+4}[/math]

откуда либо [math]c=4[/math], либо [math]c=-1[/math]. Но [math]x_{2n-1}>4[/math], поэтому [math]c=-1[/math] не может быть пределом этой последовательности. Значит [math]x_{2n-1}\to4[/math].

Теперь аналогичным образом докажите, что [math]0<x_{2n}<4[/math] и [math]x_{2n+2}>x_{2n}[/math]. Тогда последовательность [math]x_{2n}[/math] монотонно возрастает и ограничена сверху числом [math]4[/math], значит сходится к числу [math]c[/math]. Аналогично получаем, что [math]c=4[/math], а раз две подпоследовательности с чётными и нечётными номерами сходятся к [math]4[/math], то и вся последовательность [math]x_n[/math] тоже будет туда сходиться.

Автор:  Avgust [ 10 фев 2013, 21:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы последовательности и сходимость

А я покажу 1в). Он страшно простой:

[math]=\lim \limits _{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2}-1}{3+\frac{1}{n^2}}=\frac{0-1}{3+0}=-\frac 13[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/