Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Очень сложный предел по Лопиталю
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22028
Страница 2 из 2

Автор:  Human [ 10 фев 2013, 22:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Очень сложный предел по Лопиталю

Avgust писал(а):
Формула Тейлора для нее

[math]t^t=1+\sum \limits_{n \to 1}^{\infty} \frac{t^n \cdot \ln^n(t)}{n!}[/math]


Этот ряд не является рядом Тейлора. Да, это какой-то функциональный ряд, который при [math]t>0[/math] сходится к функции [math]t^t[/math], но он содержит логарифмы переменной, поэтому по определению он не есть ряд Тейлора. Более того, функция [math]x^x[/math], доопределённая в нуле единицей, не имеет ряда Тейлора, поскольку она не дифференцируема в нуле.

Далее, ясно, как этот ряд был получен: через разложение экспоненты [math]x^x=e^{x\ln x}[/math]. Но прежде чем получить это разложение, нужно знать, является ли функция [math]x\ln x[/math] бесконечно малой в нуле, поскольку только при этом условии соответствующее разложение справедливо. Если этот факт заранее неизвестен, то его нужно сначала доказать. И именно в доказательстве этого факта и участвует правило Лопиталя, поэтому в такой формулировке дано это задание. Предполагалось, что учащийся сначала докажет, что [math]\lim_{x\to0+}x\ln x=0[/math], а затем мгновенно получит ответ на вопрос.

Автор:  Avgust [ 10 фев 2013, 23:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Очень сложный предел по Лопиталю

Блестяще! Тот самый случай, когда в спорах родилась истина. Надеюсь, не только я получил еще одну дозу математических знаний.

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/