| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Очень сложный предел по Лопиталю http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22028 |
Страница 2 из 2 |
| Автор: | Human [ 10 фев 2013, 22:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Очень сложный предел по Лопиталю |
Avgust писал(а): Формула Тейлора для нее [math]t^t=1+\sum \limits_{n \to 1}^{\infty} \frac{t^n \cdot \ln^n(t)}{n!}[/math] Этот ряд не является рядом Тейлора. Да, это какой-то функциональный ряд, который при [math]t>0[/math] сходится к функции [math]t^t[/math], но он содержит логарифмы переменной, поэтому по определению он не есть ряд Тейлора. Более того, функция [math]x^x[/math], доопределённая в нуле единицей, не имеет ряда Тейлора, поскольку она не дифференцируема в нуле. Далее, ясно, как этот ряд был получен: через разложение экспоненты [math]x^x=e^{x\ln x}[/math]. Но прежде чем получить это разложение, нужно знать, является ли функция [math]x\ln x[/math] бесконечно малой в нуле, поскольку только при этом условии соответствующее разложение справедливо. Если этот факт заранее неизвестен, то его нужно сначала доказать. И именно в доказательстве этого факта и участвует правило Лопиталя, поэтому в такой формулировке дано это задание. Предполагалось, что учащийся сначала докажет, что [math]\lim_{x\to0+}x\ln x=0[/math], а затем мгновенно получит ответ на вопрос. |
|
| Автор: | Avgust [ 10 фев 2013, 23:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Очень сложный предел по Лопиталю |
Блестяще! Тот самый случай, когда в спорах родилась истина. Надеюсь, не только я получил еще одну дозу математических знаний. |
|
| Страница 2 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|