Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21845
Страница 1 из 2

Автор:  level_student [ 30 янв 2013, 22:07 ]
Заголовок сообщения:  Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций

[math]1)\lim_{x \to + \infty } \frac{ 1-\cos{x}\cos{2x}\cos{3x} }{ 1-\cos{x} }[/math]

[math]2)\lim_{x \to 0+} \sqrt{ \frac{ 1 }{ x } + \sqrt{ \frac{ 1 }{ x }+\sqrt{ \frac{ 1 }{ x } } } } - \sqrt{ \frac{ 1 }{ x } - \sqrt{ \frac{ 1 }{ x }+\sqrt{ \frac{ 1 }{ x } } } }[/math]

[math]3)\lim_{x \to 0} \frac{ x^{2} }{ \sqrt{1+x\sin{x}}-\sqrt{\cos{x}} }[/math]

[math]4)\lim_{x \to 0} ( \frac{ 1+\operatorname{tg}x }{ 1+\sin{x} }) ^{ \frac{ 1 }{ \sin^{3} {x} } }[/math]

[math]5)\lim_{x \to 1} \frac{ (1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})...(1-\sqrt[n]{x}) ) }{ (1-x)^{n-1} }[/math]

Автор:  level_student [ 30 янв 2013, 22:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнт

И как сделать, чтоб нормально выглядело?

Автор:  Human [ 30 янв 2013, 22:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнт

1. Уберите вручную <br> в полученном коде.
2. [math]\LaTeX[/math] не распознаёт переносов строки внутри формул. Если хотите записать выражение в несколько строк, то либо пользуйтесь окружением {gathered}, либо вручную разбивайте исходную формулу на несколько.
3. Ко всем тригонометрическим функциям, кроме тангенса, добавьте в начале \ Тангенс набирается \operatorname{tg}

Автор:  mad_math [ 30 янв 2013, 22:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций

А подумать, не? Прежде, чем лепить свои примеры в первый попавшийся раздел.

Автор:  level_student [ 30 янв 2013, 23:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций

Как будто я не думал... всё что я смог сделать с этими примерами-неправильно решить. Поэтому я и попросил о помощи тут...

Автор:  Avgust [ 30 янв 2013, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций

1) Я попытался сделать тригонометрические преобразования. Получил выражение без неопределенности:

[math]2 \left [ 3\cos(2x)+\cos(4x)+3\right ] \cos^2(0.5x)[/math]

Это периодическая функция и предел ее - целый интервал от 0 до 14. Наверное, это и есть ответ.
График не противоречит моему выводу:
Изображение

3) Очень просто вычислить, если применить к радикалам формулу Тейлора:

[math]=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x^2}{\left ( 1+\frac{x^2}{2}\right )-\left ( 1-\frac{x^2}{4}\right )}=\frac 43[/math]

4) В скобках отделяем единичку и дробь выражаем только через синусы. Делаем замену [math]t=\sin(x)[/math] и получим:

[math]=\lim \limits_{t \to 0}\left (1+\frac{\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}-t}{1+t} \right )^{\frac {1}{t^3}}[/math]

Большая дробь по формуле Тейлора - это [math]\frac{t^3}{2}[/math], тогда

[math]\lim \limits_{t \to 0}\left (1+\frac{t^3}{2} \right )^{\frac {1}{t^3}}=e^{\frac 12}[/math]

Автор:  level_student [ 31 янв 2013, 00:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций

Спасибо большое. А можно по подробней про тригонометрические преобразования? И про формулу тейлора, если не сложно.

Автор:  Human [ 31 янв 2013, 01:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций

Первый предел не существует по определению предела по Гейне: на последовательности [math]x_n'=\frac{\pi}2+2\pi n[/math] он равен [math]1[/math], а на последовательности [math]x_n''=\pi+2\pi n[/math] - нулю. Однако у меня есть предположение, что предел должен был браться в нуле, а не в бесконечности. Проверьте ещё раз задание.

Автор:  Avgust [ 31 янв 2013, 01:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций

Формула Тейлора проста http://www.webmath.ru/poleznoe/formules4.php

А с тригонометрией так: выражал все через [math]\cos(x)[/math], потом группировал, упрощал. Довольно муторное занятие. Исписал два листа.

Автор:  level_student [ 31 янв 2013, 01:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы. Без лопиталя и эквиваелнтных функций

Human писал(а):
Первый предел не существует по определению предела по Гейне: на последовательности [math]x_n'=\frac{\pi}2+2\pi n[/math] он равен [math]1[/math], а на последовательности [math]x_n''=\pi+2\pi n[/math] - нулю. Однако у меня есть предположение, что предел должен был браться в нуле, а не в бесконечности. Проверьте ещё раз задание.

Там действительно не инф а ноль.
Avgust писал(а):
Формула Тейлора проста http://www.webmath.ru/poleznoe/formules4.php

А с тригонометрией так: выражал все через [math]\cos(x)[/math], потом группировал, упрощал. Довольно муторное занятие. Исписал два листа.


Хорошо. И ещё раз спасибо.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/