| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Непрерывность минимума непрерывной функции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21603 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Human [ 21 янв 2013, 16:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Непрерывность минимума непрерывной функции |
Пусть функция [math]f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math]. Доказать, что функция [math]m(x)=\min_{[a;x]}f(t)[/math] также непрерывна на [math][a;b][/math]. Эта задача вызвала у меня неожиданные трудности при решении. Основная проблема в том, что даже непрерывные функции могут весьма изощрённо вести себя в окрестностях некоторых точек (скажем, пользуясь канторовой лестницей, можно породить очень мозгодробительные непрерывные функции). Решение я, наконец, получил, но оно довольно громоздкое. Сейчас я попытаюсь его немного систематизировать, и чуть позже выложу. Может, кто-то из участников видит здесь довольно простое решение? |
|
| Автор: | Prokop [ 21 янв 2013, 18:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Непрерывность минимума непрерывной функции |
Первое, что пришло в голову. Будем доказывать данное свойство для максимума (мне так удобнее). Прибавив константу, можно считать, что исходная функция положительна на промежутке [math]\left[{a,b}\right][/math]. Рассмотрим семейство функций, при [math]t \in \left[{a,b}\right][/math] положим [math]f_t \left( x \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{f\left( x \right),\;a \leqslant x \leqslant t,}\\{f\left( t \right),\;t \leqslant x \leqslant b.}\\ \end{array}}\right.[/math] Тогда [math]\mathop{\max}\limits_{a \leqslant x \leqslant t}f\left( x \right) = \left\|{f_t}\right\|[/math] Далее, при [math]\tau < t[/math] из неравенства треугольника для нормы выводим [math]\left|{\left\|{f_t}\right\| - \left\|{f_\tau}\right\|}\right| \leqslant \left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)}\right|[/math] Осталось воспользоваться теоремой Кантора — Гейне, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём. |
|
| Автор: | Human [ 21 янв 2013, 19:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Непрерывность минимума непрерывной функции |
▼ Вспомогательная лемма
▼ Решение
|
|
| Автор: | Human [ 21 янв 2013, 20:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Непрерывность минимума непрерывной функции |
Prokop писал(а): [math]\left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)}\right|[/math] Наверно, должно быть [math]\left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)-f(\tau)}\right|[/math]. Благодарю за решение! Всё же хотелось бы получить решение без использования теоремы Кантора-Гейне, поскольку эта задача находится в теме про непрерывность (задачник Кудрявцева), а до равномерной непрерывности там ещё далеко. |
|
| Автор: | Prokop [ 21 янв 2013, 20:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Непрерывность минимума непрерывной функции |
Human, Вы правы. У меня там в последней формуле опечатка. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|