Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Human |
|
|
|
Эта задача вызвала у меня неожиданные трудности при решении. Основная проблема в том, что даже непрерывные функции могут весьма изощрённо вести себя в окрестностях некоторых точек (скажем, пользуясь канторовой лестницей, можно породить очень мозгодробительные непрерывные функции). Решение я, наконец, получил, но оно довольно громоздкое. Сейчас я попытаюсь его немного систематизировать, и чуть позже выложу. Может, кто-то из участников видит здесь довольно простое решение? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Первое, что пришло в голову.
Будем доказывать данное свойство для максимума (мне так удобнее). Прибавив константу, можно считать, что исходная функция положительна на промежутке [math]\left[{a,b}\right][/math]. Рассмотрим семейство функций, при [math]t \in \left[{a,b}\right][/math] положим [math]f_t \left( x \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{f\left( x \right),\;a \leqslant x \leqslant t,}\\{f\left( t \right),\;t \leqslant x \leqslant b.}\\ \end{array}}\right.[/math] Тогда [math]\mathop{\max}\limits_{a \leqslant x \leqslant t}f\left( x \right) = \left\|{f_t}\right\|[/math] Далее, при [math]\tau < t[/math] из неравенства треугольника для нормы выводим [math]\left|{\left\|{f_t}\right\| - \left\|{f_\tau}\right\|}\right| \leqslant \left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)}\right|[/math] Осталось воспользоваться теоремой Кантора — Гейне, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Human |
||
| Human |
|
|
|
▼ Вспомогательная лемма
▼ Решение
Последний раз редактировалось Human 21 янв 2013, 20:32, всего редактировалось 1 раз. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Prokop писал(а): [math]\left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)}\right|[/math] Наверно, должно быть [math]\left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)-f(\tau)}\right|[/math]. Благодарю за решение! Всё же хотелось бы получить решение без использования теоремы Кантора-Гейне, поскольку эта задача находится в теме про непрерывность (задачник Кудрявцева), а до равномерной непрерывности там ещё далеко. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Human, Вы правы. У меня там в последней формуле опечатка.
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |