Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Проверить ф-цию на монотонность, не используя производную
СообщениеДобавлено: 21 янв 2013, 03:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 янв 2013, 03:07
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день.
Нужно проверить функцию на монотонность без использования производной.
Функция y=arctg(x)-x

Решаю:
y1-y2=f(x)-f(x+eps)=arctg(x)-x-arctg(x+eps)+x+eps=
=arctg(x)-arctg(x+eps)+eps

Верно делаю?
Как показать, что это все >0 ??"

Почему величины эпсилона всегда "хватает" для преодоления разницы арктангенсов?
При больших значениях эпсилон это явно видно, т.к. арктангенс ограничен, а при малых это не так очевидно..

Может, с помощью этого можно проверить на монотонность тогда, и как?

" Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.
Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности."
Пожалуйста, нужно позарез.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверить ф-цию на монотонность, не используя производную
СообщениеДобавлено: 21 янв 2013, 10:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Воспользуемся неравенством [math]\operatorname{tg}x\geqslant x[/math] при [math]x\in\left[0;\frac{\pi}2\right)[/math] (оно следует из геометрических соображений). Подставив в него вместо [math]x[/math] [math]\operatorname{arctg}x[/math], получим [math]x\geqslant\operatorname{arctg}x[/math] при [math]x\geqslant0[/math]. Кроме того, воспользуемся тригонометрической формулой [math]\operatorname{tg}(x-y)=\frac{\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y}{1+\operatorname{tg}x\operatorname{tg}y}[/math]. Подставив в неё вместо аргументов их арктангенсы, получим [math]\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x-\operatorname{arctg}y)=\frac{x-y}{1+xy}[/math]. Если [math]0\leqslant\operatorname{arctg}x-\operatorname{arctg}y<\frac{\pi}2[/math], то отсюда следует, что [math]\operatorname{arctg}x-\operatorname{arctg}y=\operatorname{arctg}\frac{x-y}{1+xy}[/math].

Пусть теперь [math]x_2>x_1[/math]. Обозначим [math]\delta=x_2-x_1>0[/math]. Рассмотрим несколько случаев:

1) [math]x_1\geqslant0[/math]. Тогда [math]y_2-y_1=\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_1-(x_2-x_1)[/math]. Поскольку [math]x_1\geqslant0,\ x_2>0[/math], то [math]\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_1<\frac{\pi}2[/math]. Кроме того, поскольку [math]\operatorname{arctg}x[/math] возрастающая функция, то [math]\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_1>0[/math]. Значит можно воспользоваться выведенной ранее формулой. Тогда [math]y_2-y_1=\operatorname{arctg}\frac{x_2-x_1}{1+x_1x_2}-(x_2-x_1)=\operatorname{arctg}\frac{\delta}{1+x_1(x_1+\delta)}-\delta\leqslant\frac{\delta}{1+x_1(x_1+\delta)}-\delta=-\frac{x_1\delta(x_1+\delta)}{1+x_1(x_1+\delta)}\leqslant0[/math].

2) [math]x_1<0,\ x_2\leqslant0[/math]. Обозначим [math]z_1=-x_2,\ z_2=-x_1[/math]. Тогда [math]z_1\geqslant0,\ z_2>0,\ z_2-z_1=\delta[/math] и [math]y_2-y_1=\operatorname{arctg}z_2-\operatorname{arctg}z_1-(z_2-z_1)[/math], то есть полностью совпадает с первым случаем.

3) [math]x_1<0,\ x_2>0[/math]. Тогда [math]y_2-y_1=(\operatorname{arctg}x_2-x_2)+(\operatorname{arctg}(-x_1)-(-x_1))\leqslant0[/math].

Итак, при любых [math]x_1<x_2[/math] разность [math]y_2-y_1[/math] неположительна, значит функция убывает.

Если же нужно обосновать строгое убывание, то есть [math]y_2-y_1<0[/math], то нужно использовать неравенство [math]\operatorname{tg}x>x[/math] при [math]x\in\left(0;\frac{\pi}2\right)[/math] и более аккуратно рассмотреть случаи расположения точек [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] на оси.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Используя монотонность и ограниченность доказать сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

OddBlossom

1

344

28 ноя 2022, 15:28

Доказать сходимость, используя монотонность и ограниченность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

OddBlossom

8

345

23 окт 2022, 16:24

Исследование функции на монотонность через производную

в форуме Дифференциальное исчисление

mathematic_x

3

177

14 май 2020, 19:03

Как проверить или опровергнуть гипотезу, используя SPSS?

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Eleno4ka

4

552

27 май 2017, 12:50

Найти производную (проверить/поправить)

в форуме Дифференциальное исчисление

Sufir

3

472

13 дек 2014, 00:09

Монотонность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sever

4

247

01 апр 2019, 16:27

Параметр на монотонность

в форуме Алгебра

Violinist1

1

163

09 мар 2022, 18:52

Монотонность размерности

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

iNarek94

3

548

08 мар 2015, 13:31

Монотонность, точки экстремума

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

H0las

7

380

29 сен 2015, 17:46

Исследовать последовательность на монотонность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

KINOshNiK

12

1586

17 сен 2015, 18:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved