Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти пределы с помощью метода Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21513
Страница 1 из 1

Автор:  Regotov [ 17 янв 2013, 02:10 ]
Заголовок сообщения:  Найти пределы с помощью метода Лопиталя

Здравствуйте. Прошу помощи по данным ниже пределам, желательно с решением, чтобы вникнуть. Извиняюсь, что фото, но LaTex пока плохо знаю, а времени очень мало. Заранее благодарен. Сам прорешал 1, 3 и 4 задания, но очень сильно сомневаюсь в своих ответах, т.к. очень слаб в данной теме.
P.S.: в первом задании х-->0, во втором дан arcsin, в третьем даны arctg и arcsin, все остальное вроде понятно.
Изображение

Автор:  Avgust [ 17 янв 2013, 05:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы с помощью метода Лопиталя

1) Если дважды пролопиталить числитель и знаменатель, то получится:

[math]\lim \limits_{x \to 0} \frac{ \left( a+x \right) ^{x} \left( \ln \left( a+x \right) +{\frac {x}{a+x}} \right) ^{2}+{\frac { \left( a+x \right) ^{x} \left( 2\,a+x \right) }{ \left( a+x \right) ^{2}}}-{a}^{x} \left( \ln \left( a \right) \right) ^{2}}{2}[/math]

Подставляя x=0 получим простой ответ [math]\frac 1a[/math]

Лопиталем данный предел искать нерационально. Гораздо проще найти ЭБМ по формуле Тейлора при [math]x=0[/math]:

[math](a+x)^x-a^x \, \sim \,\frac{x^2}{a}[/math]

И предел вычисляется в уме.

Более общий случай ЭБМ:

[math](a+kx)^{mx}-a^{mx} \, \sim \,\frac{km}{a}\,x^2 \qquad \quad (x \to 0)[/math]

Такое желательно записать с копилку ЭБМ

Автор:  Yurik [ 17 янв 2013, 09:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы с помощью метода Лопиталя

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\pi - 2\arcsin \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\pi - 2\operatorname{arc} tg\,x}}{{{x^{ - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 2}}{{ - {x^{ - 2}}\left( {1 + {x^2}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{4x}}{{2x}} = 2[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/