Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Проверьте решение предела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21465
Страница 1 из 1

Автор:  Ryslannn [ 15 янв 2013, 20:34 ]
Заголовок сообщения:  Проверьте решение предела

Ответ другой, что я делаю не так?

Изображение

Автор:  Avgust [ 16 янв 2013, 08:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте решение предела

Я рассуждаю попроще. Предел сводится к

[math]\lim \limits_{x \to \infty} \left ( 1+\frac{4-2x}{x^2+3x-3}\right )^{3x^2}[/math]

Можно в дроби избавиться от членов втрого уровня малости. Так, в числителе смело можно избавиться от 4, а в знаменателе - от [math]3x-3[/math]

Тогда останется [math]\lim \limits_{x \to \infty} \left ( 1-\frac{2}{x}\right )^{3x^2}=0[/math]

Вот если бы в исходнике в числителе было бы [math]x^2+3x+1[/math] , то это привело бы к

[math]\lim \limits_{x \to \infty} \left ( 1+\frac{4}{x^2}\right )^{3x^2}=e^{12}[/math]

Такова сила математики: добавили к числителю всего [math]2x[/math] и вместо нуля получим примерно 162755

Автор:  Yurik [ 16 янв 2013, 08:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте решение предела

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + x - 1}}{{{x^2} + 3x - 3}}} \right)^{3{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{ - 2x + 2}}{{{x^2} + 3x - 3}}} \right)^{\frac{{{x^2} + 3x - 3}}{{ - 2x + 2}}\frac{{ - 2x + 2}}{{{x^2} + 3x - 3}}3{x^2}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 6{x^3} + 6{x^2}}}{{{x^2} + 3x - 3}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 6{x^3} + 6{x^2}}}{{{x^2} + 3x - 3}}} \right) = {e^{ - \infty }} = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вот, если бы в показателе степени было [math]3x[/math], то
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + x - 1}}{{{x^2} + 3x - 3}}} \right)^{3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{ - 2x + 2}}{{{x^2} + 3x - 3}}} \right)^{\frac{{{x^2} + 3x - 3}}{{ - 2x + 2}}\frac{{ - 2x + 2}}{{{x^2} + 3x - 3}}3x}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 6{x^2} + 6x}}{{{x^2} + 3x - 3}}} \right) = {e^{ - 6}}[/math]

Автор:  Avgust [ 16 янв 2013, 08:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте решение предела

И в моем подходе, если бы показатель был [math]3x[/math], то

[math]\lim \limits_{x \to \infty} \left ( 1+\frac{-2}{x}\right )^{3x}=e^{-6}[/math]

Согласитесь, - громоздкости в вычислениях меньше :D1

Хорошо еще - в примере квадратные трехчлены. А если полиномы пятнадцатой степени? Мой подход останется таким же коротким. А вот общепринятый... Боюсь бедный студент сварится всмятку :)

Автор:  Yurik [ 16 янв 2013, 09:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте решение предела

Avgust писал(а):
Боюсь бедный студент сварится всмятку

Боюсь "всмятку сварится" он, разбираясь где второй порядок малости, поскольку [math]x \to \infty[/math].

Автор:  Avgust [ 16 янв 2013, 10:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте решение предела

Ну... Тут помогут только примеры.

[math]\lim _{x\rightarrow \infty } \left( {\frac {4\,{x}^{15}-43\,{x}^{13}+7\,{x}^{11}-5\,{x}^{4}+14}{4\,{x}^{15}-43\,{x}^{13}+7\,{x}^{11}-5\,{x}^{4}+11}} \right) ^{7\,{x}^{15}}=\lim _{x\rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{3}{4 x^{15}-43 x^{13}+7 x^{11}-5 x^4+11} \right) ^{7\,{x}^{15}}=\lim \limits_{x \to \infty}\left (1+\frac{3}{4 x^{15}} \right )^{7x^{15}}=e^{\frac{3 \cdot 7}{4}}[/math]

Уж если я разобрался, что убирать смело, то ушлый студент и подавно. Интересно, как бы Вы, Юрий, такой предел взял?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/