| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти предел. Правило Лопиталя http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21257 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | mad_math [ 07 янв 2013, 22:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти предел. Правило Лопиталя |
Доброго времени суток, уважаемые соучастники. Столкнулась с такой задачей. Найти предел с помощью правила Лопиталя: [math]\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin{x}}}{x^3}[/math] Нахождение производных "в лоб" приводит к довольно громоздким выражениям. Может есть какая-то хитрость? Подкиньте идею, пожалуйста. Спасибо за внимание. |
|
| Автор: | erjoma [ 07 янв 2013, 23:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел. Правило Лопиталя |
Возможно стоит сначала домножить на [math]\frac{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }}{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }}[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 07 янв 2013, 23:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел. Правило Лопиталя |
По-моему, это не очень облегчает задачу. Тогда усложняется производная знаменателя. |
|
| Автор: | erjoma [ 07 янв 2013, 23:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел. Правило Лопиталя |
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{x^3}\left( {\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{x^3}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }} = \hfill \\ = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \cos x}}{{3{x^2}}} = \frac{1}{6}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\cos }^2}x + \cos x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{2x}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 07 янв 2013, 23:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел. Правило Лопиталя |
Блин. Не подумала разбить его на два предела. erjoma, спасибо.
|
|
| Автор: | Avgust [ 08 янв 2013, 04:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти предел. Правило Лопиталя |
Еще проще - найти ЭБМ числителя по формуле Тейлора: [math]\sqrt{1+tg(x)}-\sqrt{1+sin(x)} \sim \frac{x^3}{4}[/math] Далее либо применить Лопиталя, либо просто сократить на [math]x^3[/math]
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|