Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти предел. Правило Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21257
Страница 1 из 1

Автор:  mad_math [ 07 янв 2013, 22:50 ]
Заголовок сообщения:  Найти предел. Правило Лопиталя

Доброго времени суток, уважаемые соучастники.
Столкнулась с такой задачей.
Найти предел с помощью правила Лопиталя:
[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin{x}}}{x^3}[/math]

Нахождение производных "в лоб" приводит к довольно громоздким выражениям. Может есть какая-то хитрость?
Подкиньте идею, пожалуйста.
Спасибо за внимание.

Автор:  erjoma [ 07 янв 2013, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел. Правило Лопиталя

Возможно стоит сначала домножить на [math]\frac{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }}{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }}[/math]

Автор:  mad_math [ 07 янв 2013, 23:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел. Правило Лопиталя

По-моему, это не очень облегчает задачу. Тогда усложняется производная знаменателя.

Автор:  erjoma [ 07 янв 2013, 23:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел. Правило Лопиталя

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{x^3}\left( {\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{x^3}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }} = \hfill \\ = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \cos x}}{{3{x^2}}} = \frac{1}{6}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\cos }^2}x + \cos x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{2x}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  mad_math [ 07 янв 2013, 23:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел. Правило Лопиталя

Блин. Не подумала разбить его на два предела.
erjoma, спасибо. :thanks:

Автор:  Avgust [ 08 янв 2013, 04:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел. Правило Лопиталя

Еще проще - найти ЭБМ числителя по формуле Тейлора:

[math]\sqrt{1+tg(x)}-\sqrt{1+sin(x)} \sim \frac{x^3}{4}[/math]

Далее либо применить Лопиталя, либо просто сократить на [math]x^3[/math] :D1

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/