Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти предел. Правило Лопиталя
СообщениеДобавлено: 07 янв 2013, 22:50 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уважаемые соучастники.
Столкнулась с такой задачей.
Найти предел с помощью правила Лопиталя:
[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin{x}}}{x^3}[/math]

Нахождение производных "в лоб" приводит к довольно громоздким выражениям. Может есть какая-то хитрость?
Подкиньте идею, пожалуйста.
Спасибо за внимание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел. Правило Лопиталя
СообщениеДобавлено: 07 янв 2013, 23:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно стоит сначала домножить на [math]\frac{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }}{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел. Правило Лопиталя
СообщениеДобавлено: 07 янв 2013, 23:08 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, это не очень облегчает задачу. Тогда усложняется производная знаменателя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел. Правило Лопиталя
СообщениеДобавлено: 07 янв 2013, 23:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{x^3}\left( {\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{x^3}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }} = \hfill \\ = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \cos x}}{{3{x^2}}} = \frac{1}{6}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\cos }^2}x + \cos x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{2x}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел. Правило Лопиталя
СообщениеДобавлено: 07 янв 2013, 23:36 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Блин. Не подумала разбить его на два предела.
erjoma, спасибо. :thanks:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел. Правило Лопиталя
СообщениеДобавлено: 08 янв 2013, 04:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще проще - найти ЭБМ числителя по формуле Тейлора:

[math]\sqrt{1+tg(x)}-\sqrt{1+sin(x)} \sim \frac{x^3}{4}[/math]

Далее либо применить Лопиталя, либо просто сократить на [math]x^3[/math] :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти предел (правило Лопиталя)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

matema+tika

5

401

08 апр 2020, 17:09

Найти предел не используя правило Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lera_anreevna

1

192

23 дек 2019, 23:46

Найти предел, не применяя правило Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Meinvi

5

301

24 ноя 2020, 00:13

Найти предел, используя правило Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kristalliks

12

387

30 сен 2022, 08:31

Найти предел функции, не используя правило Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

natallikrs

3

276

10 ноя 2020, 18:02

Найти предел функции, используя правило Лопиталя

в форуме Дифференциальное исчисление

sergeytroc510

13

411

21 дек 2020, 17:31

Найти предел функции, не используя правило Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kristian

2

535

14 ноя 2017, 20:48

Правило Лопиталя. Предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

valeriemik96

1

280

16 июн 2015, 00:40

Предел. Правило Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Zed

2

352

08 янв 2015, 17:39

Предел и правило Лопиталя.

в форуме Дифференциальное исчисление

Viktors

4

290

23 авг 2024, 14:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved