Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Посчитать пределы, не используя правило лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21199
Страница 1 из 2

Автор:  ventil94 [ 05 янв 2013, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

помогите посчитать два первых предела
в первом я домножаю на сопряженное, но это мне ничего не дает или нужно раскрывать как разность кубов
второе вообще не понимаю с чего начать надо, расписываю синус разности , но это ни к чему не приводитИзображение

Автор:  Avgust [ 06 янв 2013, 04:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

1) Здесь спасет прекрасное ЭБМ: [math]\left (1+u \right )^k-1 \sim k \cdot u \,\; \qquad (k>0 \, ; \, u \to 0)[/math]

[math]= \lim \limits_{x \to 0}\, \frac{\big (1+x \big )^{\frac 13}-1-\big [1+(-x) \big ]^{\frac 13}+1}{x}= \lim \limits_{x \to 0}\, \frac{\frac 13 \cdot x - \frac 13 \cdot (-x)}{x}=\frac 23[/math]

2) Здесь спасет знание тригонометрии:

[math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac{\sin {t}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos \left (t+\frac{\pi}{6} \right )}[/math]

[math]\cos \left (t+\frac{\pi}{6} \right )= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos {t}- \frac 12 \sin {t}[/math]

Если Вы все грамотно сделаете, примените ЭБМ

[math]1-\cos {u} \sim \frac{1}{2} u^2 \,\; \qquad (u \to 0)[/math] ,

то получите предел [math]2[/math]

Автор:  Yurik [ 06 янв 2013, 11:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

Не рекомендую использовать ЭБМ в суммах, лучше так сделать.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + x}} - \sqrt[3]{{1 - x}}}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x - 1 + x}}{{\sin x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}} \right)}} = \hfill \\ = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}}} = \frac{2}{{1 + 1 + 1}} = \frac{2}{3} \hfill \\ \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{\cos \frac{\pi }{6} - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{2\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{{12}}} \right)\cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{{12}}} \right)}}{{2\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{{12}}} \right)}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{\cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{{12}}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2 \hfill \\\end{gathered}[/math]

Автор:  Avgust [ 06 янв 2013, 11:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

Я абсолютно уверен в правильности ЭБМ, поскольку в самом начале построил график и результат твердо знал. Если бы ответы не сошлись, то пошел бы более длинным путем Юрика, а еще лучше - через формулу Тейлора.

1) [math]\lim \limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + x}} - \sqrt[3]{{1 - x}}}}{{\sin x}} \approx \frac 23 +\frac{19x^2}{81}+...[/math]

2) [math]\lim \limits_{t \to 0}\frac{\sin{t}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos \left (t+\frac{\pi}{6}\right )}\approx 2-\sqrt{3}t+\frac{3}{2}t^2 - ...[/math]

Автор:  Yurik [ 06 янв 2013, 12:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

Avgust писал(а):
поскольку в самом начале построил график

Не у всех есть такая возможность, и не все это умеют.

Автор:  Avgust [ 06 янв 2013, 12:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

Юрий! Иметь Интернет и не иметь возможности... Не смешите мои шлепанцы.
Один из тысяч вариантов - зайти в http://www.yotx.ru/
Там проще, чем играть в "Машеньку и Медведь".

Автор:  Yurik [ 06 янв 2013, 12:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

Avgust писал(а):
Там проще, чем играть в "Машеньку и Медведь".

Только преподаватели этого не оценят. :D1

Автор:  tre1994 [ 09 янв 2013, 17:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

Yurik

привет)

Автор:  tre1994 [ 09 янв 2013, 17:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

Изображение

Автор:  tre1994 [ 09 янв 2013, 17:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать пределы, не используя правило лопиталя

помогите решить номер 10,11,12

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/