Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определение предела последовательности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21072
Страница 1 из 1

Автор:  Wersel [ 30 дек 2012, 00:29 ]
Заголовок сообщения:  Определение предела последовательности

Изображение


По аналогии, доказываю, что [math]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+1}{5n^2+1} = \frac{3}{5}[/math]

По определению предела, число [math]\frac{3}{5}[/math] будет пределом последовательности [math]x_{n} = \frac{3n^2+1}{5n^2+1}[/math], [math]n\in N[/math], если [math]\forall \epsilon > 0[/math] найдется натуральное число [math]N[/math], такое, что для всех [math]n>N[/math] выполняется неравенство [math]|\frac{3n^2+1}{5n^2+1} - \frac{3}{5}| < \epsilon[/math], то есть [math]|\frac{15n^2+5-15n^2-3}{25n^2+5}| < \epsilon[/math] или [math]|\frac{2}{25n^2+5} < \epsilon |[/math].

Оно справедливо для всех [math]N > \sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}[/math], то есть для всех [math]n>N=[\sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}][/math]

Если [math]\epsilon > 1[/math], то в качестве [math]N[/math] можно взять [math][\sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}] + 1[/math].

И так, для любого [math]\epsilon > 0[/math] указано соответствующее значение [math]N[/math], это и доказывает, что [math]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2+1}{5n^2+1} = \frac{3}{5}[/math] .

Правильно ли? Спасибо.

Автор:  Andy [ 30 дек 2012, 10:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение предела последовательности

Wersel
По-моему, всё правильно.

Автор:  Human [ 30 дек 2012, 18:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение предела последовательности

Wersel

Во-первых, есть несколько ляпов:

1. Если [math]\varepsilon>\frac25[/math], то корня не существует, значит не существует и предложенного Вами числа [math]N[/math]
2. Если [math]\frac1{15}<\varepsilon\leqslant\frac25[/math], то [math]0\leqslant\sqrt{\frac{2-5\varepsilon}{25\varepsilon}}<1[/math], и значит предложенное Вами число [math]N=0[/math], чего не может быть, поскольку число [math]N[/math] натурально.
В итоге предложенное Вами число [math]N[/math] удовлетворяет определению предела только при [math]0<\varepsilon\leqslant\frac1{15}[/math]. Для остальных [math]\varepsilon[/math] нужно предложить другое число.

Во-вторых, непонятно, откуда взялась строчка

Wersel писал(а):
Если [math]\epsilon > 1[/math], то в качестве [math]N[/math] можно взять [math][\sqrt{\frac{2-5 \epsilon}{25 \epsilon}}] + 1[/math].


В примере, который Вы поместили под оффтоп, случай [math]\varepsilon>1[/math] выделялся отдельно, поскольку при [math]\varepsilon>1[/math] [math]\frac1{\varepsilon}<1[/math], и значит [math]N=\left[\frac1{\varepsilon}\right]=0[/math], чего не может быть по указанной мною выше причине. Здесь же она совсем не к месту.

Автор:  Andy [ 30 дек 2012, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение предела последовательности

Wersel
Отчасти согласен с Human. Чтобы исправить предложенное Вами решение, начнём с того, что [math]N>\sqrt\frac{2-5\varepsilon}{25\varepsilon},[/math] как это было установлено Вами. Это выражение, однако, должно быть неотрицательным, т. е. должно быть [math]2-5\varepsilon \ge 0,[/math] или [math]\varepsilon \le \frac{2}{5}.[/math] Например, при [math]\varepsilon=\frac{2}{5}[/math] получаем [math]N>0,[/math] и неравенство [math]\bigg|x_n-\frac{3}{5}\bigg|<\varepsilon=\frac{2}{5}[/math] выполняется, начиная с номера [math]n=1[/math]: [math]\bigg|\frac{3 \cdot 1^2 + 1}{5 \cdot 1^2 + 1}-\frac{3}{5}\bigg|=\frac{4}{6}-\frac{3}{5}=\frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{10-9}{15}=\frac{1}{15}<\frac{2}{5}=\frac{6}{15}.[/math] Понятно, что при [math]\varepsilon>\frac{2}{5}[/math] можно положить [math]N=0[/math] и [math]n=1.[/math]

Как я понимаю, полученный результат можно оформить так:
[math]\left\{\!\begin{aligned} & n> \sqrt\frac{2-5\varepsilon}{25\varepsilon}~(n \in \mathbb{N}),~0<\varepsilon < \frac{2}{5}, \\ & n=1,~\varepsilon \ge \frac{2}{5}. \end{aligned}\right.[/math]


Для любого числа [math]\varepsilon>0[/math] теперь указан такой номер [math]n[/math] члена последовательности [math]x_n,[/math] начиная с которого неравенство [math]\bigg|x_n-\frac{3}{5}\bigg|<\varepsilon[/math] выполняется. Значит, число [math]a=\frac{3}{5}[/math] является пределом заданной последовательности.

Не исключено, что кто-нибудь найдёт изъяны и в этом решении. Что ж, можно будет поработать дальше... :)

С наступающим Новым годом!

Автор:  Wersel [ 31 дек 2012, 00:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение предела последовательности

Andy
Human
Спасибо!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/