Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать непрерывность функции по определению
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=21063
Страница 1 из 1

Автор:  bashka_a [ 29 дек 2012, 02:06 ]
Заголовок сообщения:  Доказать непрерывность функции по определению

Доказать непрерывность функции по определению (беск. мал. приращ. X соотв. беск. мал. приращ. Y)
что за определение такое и как правильно по нему доказать?
Изображение

Автор:  Andy [ 02 янв 2013, 09:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать непрерывность функции по определению

bashka_a
Найдём приращение функции [math]y=\ln(\sqrt{x-1}-1)[/math] при переходе от точки [math]x[/math] к точке [math]x+\Delta x[/math]:
[math]\Delta y=y(x)-y(x+\Delta x)=\ln(\sqrt{x-1}-1)-\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}[/math]

и предел этого приращения при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math]:
[math]\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln 1=0.[/math]


Из того, что [math]\Delta y \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0,[/math] следует непрерывность функции [math]y(x)[/math] в точке [math]x \in D(y(x)).[/math]

Автор:  Human [ 02 янв 2013, 12:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать непрерывность функции по определению

Andy

Не думаю, что требуется именно такое "решение". Последний предел Вы вычислили, воспользовавшись непрерывностью (переход от предела функции к пределу аргумента можно делать только в случае непрерывных функций).

Автор:  Andy [ 02 янв 2013, 14:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать непрерывность функции по определению

Human
А разве функции [math]x-1[/math] и [math]\sqrt{x-1}[/math] не непрерывны? Впрочем, я могу заблуждаться. Может быть, Вам нетрудно предложить правильное решение?

Автор:  Andy [ 02 янв 2013, 17:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать непрерывность функции по определению

bashka_a
Я принимаю во внимание сообщение Human, но сначала хочу исправить непонятно почему допущенную мной ошибку: я поменял местами уменьшаемое и вычитаемое.

Найдём приращение функции [math]y=\ln(\sqrt{x-1}-1)[/math] при переходе от точки [math]x[/math] к точке [math]x+\Delta x[/math]:
[math]\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x}-1)=\ln\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}[/math]

и предел этого приращения при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math]:
[math]\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\ln\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln 1=0.[/math]


Из того, что [math]\Delta y \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0,[/math] следует непрерывность функции [math]y(x)[/math] в точке [math]x \in D(y(x)).[/math]

Над правильным доказательством буду думать, полагая, что предложенное мной доказательство в действительности неверно. Если додумаюсь, то сообщу. Надо полагать, у моего оппонента оно уже есть и дело за малым - дождаться этого доказательства. Без иронии - я ведь всего лишь любитель, а не профессионал в математике. :)

Автор:  Human [ 02 янв 2013, 20:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать непрерывность функции по определению

Andy писал(а):
А разве функции [math]x-1[/math] и [math]\sqrt{x-1}[/math] не непрерывны?


Непрерывны, но дело не в них. Дело в том гиганте [math]f(\Delta x)=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}[/math]. Чтобы можно было просто заменить [math]\Delta x[/math] на [math]0[/math], нужно сначала доказать, что эта функция непрерывна в нуле, что не сильно отличается от исходного вопроса.

Мне кажется, что нужно оценить [math]\Delta y[/math] некоторой бесконечно малой в окрестности нуля функцией от [math]\Delta x[/math], используя для этого стандартные неравенства. Скажем, из неравенства [math]e^x\geqslant1+x[/math] следует, что при [math]x>0[/math] выполнено неравенство [math]\ln(1+x)<x[/math], откуда можно вывести [math]|\ln x-\ln y|<\frac{|x-y|}{\min\{x,y\}}[/math]. Для корней: [math]|\sqrt x-\sqrt y|=\frac{|x-y|}{\sqrt x+\sqrt y[/math].

В данном случае при [math]\Delta x>0[/math] имеем

[math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}-1}\leqslant\frac{\Delta x}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}-1)}[/math]

При фиксированном [math]x[/math] знаменатель полученной дроби есть константа, поэтому [math]\lim_{\Delta x\to0+}\Delta y=0[/math].

Если же [math]\Delta x<0[/math], то аналогично получаем

[math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{|\Delta x|}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)}[/math]

Выберем радиус [math]\delta[/math] окрестности нуля так, что [math]|\Delta x|<\delta<x-2[/math]. Тогда

[math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{|\Delta x|}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-\delta-1}-1)}[/math]

И значит [math]\lim_{\Delta x\to0-}\Delta y=0[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/