Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать непрерывность функции по определению
СообщениеДобавлено: 29 дек 2012, 02:06 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 дек 2012, 18:22
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать непрерывность функции по определению (беск. мал. приращ. X соотв. беск. мал. приращ. Y)
что за определение такое и как правильно по нему доказать?
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность функции по определению
СообщениеДобавлено: 02 янв 2013, 09:46 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bashka_a
Найдём приращение функции [math]y=\ln(\sqrt{x-1}-1)[/math] при переходе от точки [math]x[/math] к точке [math]x+\Delta x[/math]:
[math]\Delta y=y(x)-y(x+\Delta x)=\ln(\sqrt{x-1}-1)-\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}[/math]

и предел этого приращения при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math]:
[math]\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln 1=0.[/math]


Из того, что [math]\Delta y \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0,[/math] следует непрерывность функции [math]y(x)[/math] в точке [math]x \in D(y(x)).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность функции по определению
СообщениеДобавлено: 02 янв 2013, 12:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy

Не думаю, что требуется именно такое "решение". Последний предел Вы вычислили, воспользовавшись непрерывностью (переход от предела функции к пределу аргумента можно делать только в случае непрерывных функций).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность функции по определению
СообщениеДобавлено: 02 янв 2013, 14:00 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
А разве функции [math]x-1[/math] и [math]\sqrt{x-1}[/math] не непрерывны? Впрочем, я могу заблуждаться. Может быть, Вам нетрудно предложить правильное решение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность функции по определению
СообщениеДобавлено: 02 янв 2013, 17:41 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bashka_a
Я принимаю во внимание сообщение Human, но сначала хочу исправить непонятно почему допущенную мной ошибку: я поменял местами уменьшаемое и вычитаемое.

Найдём приращение функции [math]y=\ln(\sqrt{x-1}-1)[/math] при переходе от точки [math]x[/math] к точке [math]x+\Delta x[/math]:
[math]\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x}-1)=\ln\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}[/math]

и предел этого приращения при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math]:
[math]\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\ln\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln 1=0.[/math]


Из того, что [math]\Delta y \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0,[/math] следует непрерывность функции [math]y(x)[/math] в точке [math]x \in D(y(x)).[/math]

Над правильным доказательством буду думать, полагая, что предложенное мной доказательство в действительности неверно. Если додумаюсь, то сообщу. Надо полагать, у моего оппонента оно уже есть и дело за малым - дождаться этого доказательства. Без иронии - я ведь всего лишь любитель, а не профессионал в математике. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность функции по определению
СообщениеДобавлено: 02 янв 2013, 20:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
А разве функции [math]x-1[/math] и [math]\sqrt{x-1}[/math] не непрерывны?


Непрерывны, но дело не в них. Дело в том гиганте [math]f(\Delta x)=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}[/math]. Чтобы можно было просто заменить [math]\Delta x[/math] на [math]0[/math], нужно сначала доказать, что эта функция непрерывна в нуле, что не сильно отличается от исходного вопроса.

Мне кажется, что нужно оценить [math]\Delta y[/math] некоторой бесконечно малой в окрестности нуля функцией от [math]\Delta x[/math], используя для этого стандартные неравенства. Скажем, из неравенства [math]e^x\geqslant1+x[/math] следует, что при [math]x>0[/math] выполнено неравенство [math]\ln(1+x)<x[/math], откуда можно вывести [math]|\ln x-\ln y|<\frac{|x-y|}{\min\{x,y\}}[/math]. Для корней: [math]|\sqrt x-\sqrt y|=\frac{|x-y|}{\sqrt x+\sqrt y[/math].

В данном случае при [math]\Delta x>0[/math] имеем

[math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}-1}\leqslant\frac{\Delta x}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}-1)}[/math]

При фиксированном [math]x[/math] знаменатель полученной дроби есть константа, поэтому [math]\lim_{\Delta x\to0+}\Delta y=0[/math].

Если же [math]\Delta x<0[/math], то аналогично получаем

[math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{|\Delta x|}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)}[/math]

Выберем радиус [math]\delta[/math] окрестности нуля так, что [math]|\Delta x|<\delta<x-2[/math]. Тогда

[math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{|\Delta x|}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-\delta-1}-1)}[/math]

И значит [math]\lim_{\Delta x\to0-}\Delta y=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

gail-ul

1

386

15 ноя 2016, 06:51

Приращением доказать непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Bassovsky

1

358

01 окт 2017, 20:56

Доказать непрерывность функции в точке по Коши

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

WayTo

2

1185

03 окт 2016, 18:16

Доказать по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Residentmaks

1

436

20 ноя 2015, 07:16

Доказать по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Gfhs

1

483

13 ноя 2015, 23:55

Доказать по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Gfhs

3

549

20 окт 2015, 17:41

Доказать по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

9ofHokage

7

416

12 ноя 2022, 16:44

Доказать по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Paint

2

364

21 дек 2018, 15:14

Доказать по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Gfhs

4

610

23 окт 2015, 17:53

Доказать по определению Коши

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

BabyFox03

0

321

08 июн 2020, 11:07


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved