Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| bashka_a |
|
||
| Вернуться к началу | |||
| Andy |
|
||
|
bashka_a
Найдём приращение функции [math]y=\ln(\sqrt{x-1}-1)[/math] при переходе от точки [math]x[/math] к точке [math]x+\Delta x[/math]: [math]\Delta y=y(x)-y(x+\Delta x)=\ln(\sqrt{x-1}-1)-\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}[/math] и предел этого приращения при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math]: [math]\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln 1=0.[/math] Из того, что [math]\Delta y \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0,[/math] следует непрерывность функции [math]y(x)[/math] в точке [math]x \in D(y(x)).[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Human |
|
||
|
Andy
Не думаю, что требуется именно такое "решение". Последний предел Вы вычислили, воспользовавшись непрерывностью (переход от предела функции к пределу аргумента можно делать только в случае непрерывных функций). |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Andy |
|
||
|
Human
А разве функции [math]x-1[/math] и [math]\sqrt{x-1}[/math] не непрерывны? Впрочем, я могу заблуждаться. Может быть, Вам нетрудно предложить правильное решение? |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Andy |
|
||
|
bashka_a
Я принимаю во внимание сообщение Human, но сначала хочу исправить непонятно почему допущенную мной ошибку: я поменял местами уменьшаемое и вычитаемое. Найдём приращение функции [math]y=\ln(\sqrt{x-1}-1)[/math] при переходе от точки [math]x[/math] к точке [math]x+\Delta x[/math]: [math]\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x}-1)=\ln\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}[/math] и предел этого приращения при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math]: [math]\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\ln\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x-1}-1}=\ln 1=0.[/math] Из того, что [math]\Delta y \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0,[/math] следует непрерывность функции [math]y(x)[/math] в точке [math]x \in D(y(x)).[/math] Над правильным доказательством буду думать, полагая, что предложенное мной доказательство в действительности неверно. Если додумаюсь, то сообщу. Надо полагать, у моего оппонента оно уже есть и дело за малым - дождаться этого доказательства. Без иронии - я ведь всего лишь любитель, а не профессионал в математике. ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Human |
|
||
|
Andy писал(а): А разве функции [math]x-1[/math] и [math]\sqrt{x-1}[/math] не непрерывны? Непрерывны, но дело не в них. Дело в том гиганте [math]f(\Delta x)=\ln\frac{\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x+\Delta x-1}-1}[/math]. Чтобы можно было просто заменить [math]\Delta x[/math] на [math]0[/math], нужно сначала доказать, что эта функция непрерывна в нуле, что не сильно отличается от исходного вопроса. Мне кажется, что нужно оценить [math]\Delta y[/math] некоторой бесконечно малой в окрестности нуля функцией от [math]\Delta x[/math], используя для этого стандартные неравенства. Скажем, из неравенства [math]e^x\geqslant1+x[/math] следует, что при [math]x>0[/math] выполнено неравенство [math]\ln(1+x)<x[/math], откуда можно вывести [math]|\ln x-\ln y|<\frac{|x-y|}{\min\{x,y\}}[/math]. Для корней: [math]|\sqrt x-\sqrt y|=\frac{|x-y|}{\sqrt x+\sqrt y[/math]. В данном случае при [math]\Delta x>0[/math] имеем [math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{\sqrt{x+\Delta x-1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}-1}\leqslant\frac{\Delta x}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}-1)}[/math] При фиксированном [math]x[/math] знаменатель полученной дроби есть константа, поэтому [math]\lim_{\Delta x\to0+}\Delta y=0[/math]. Если же [math]\Delta x<0[/math], то аналогично получаем [math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{|\Delta x|}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)}[/math] Выберем радиус [math]\delta[/math] окрестности нуля так, что [math]|\Delta x|<\delta<x-2[/math]. Тогда [math]\left|\ln(\sqrt{x+\Delta x-1}-1)-\ln(\sqrt{x-1}-1)\right|<\frac{|\Delta x|}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x-\delta-1}-1)}[/math] И значит [math]\lim_{\Delta x\to0-}\Delta y=0[/math]. |
|||
| Вернуться к началу | |||
|
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |