Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Нахождение предела функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=20947
Страница 1 из 2

Автор:  annaiutina [ 25 дек 2012, 18:05 ]
Заголовок сообщения:  Нахождение предела функции

помогите пожалуйста рассчитать пределы, хоть какие-нибудь номера. Помогите разобраться.
:nails: Изображение
заранее огромное спасибо кто поможет

Автор:  Andy [ 30 дек 2012, 11:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

annaiutina
10) При [math]x \rightarrow 0[/math]
[math]\sin x \sim x,[/math]

[math]1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2,~\cos x \sim 1-\frac{1}{2}x^2,[/math]

[math]\sin^3 x=(\sin x)^3 \sim x^3,[/math]

[math]\operatorname{tg}x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\frac{\sin x -\sin x\cos x}{\cos x} \sim \frac{x-x\bigg(1-\frac{1}{2}x^2 \bigg)}{1-\frac{1}{2}x^3}=\frac{\frac{1}{2}x^3}{\frac{1}{2}(2-x^2)}=\frac{x^3}{2-x^2},[/math]

[math]\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3 x} \sim \frac{x^3}{(2-x^2)x^3}=\frac{1}{2-x^2}.[/math]


Поэтому [math]\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2-x^2}=\frac{1}{2}.[/math]

Автор:  Yurik [ 30 дек 2012, 11:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {ctg\,x} \right)^{ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {1 + ctg\,x - 1} \right)^{\frac{1}{{ctg\,x - 1}}\left( {ctg\,x - 1} \right) \cdot ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\frac{\pi }{4}tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {tg\frac{\pi }{4} - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {1 - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 + tg\,x}}{{\,tg\,x}}} \right) = {e^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin 2a - \sin 2x}}{{x - a}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{x - a}} = - 2\cos 2a[/math]

Автор:  annaiutina [ 09 янв 2013, 20:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {ctg\,x} \right)^{ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {1 + ctg\,x - 1} \right)^{\frac{1}{{ctg\,x - 1}}\left( {ctg\,x - 1} \right) \cdot ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\frac{\pi }{4}tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {tg\frac{\pi }{4} - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {1 - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 + tg\,x}}{{\,tg\,x}}} \right) = {e^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin 2a - \sin 2x}}{{x - a}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{x - a}} = - 2\cos 2a[/math]


Yurik можно пожалуйста задать вопрос, что это за значок "exp" и как мы перешли из котангенса в танген, не могу разобраться. объясните пожалуйста.

Автор:  annaiutina [ 09 янв 2013, 22:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

annaiutina писал(а):
Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {ctg\,x} \right)^{ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {1 + ctg\,x - 1} \right)^{\frac{1}{{ctg\,x - 1}}\left( {ctg\,x - 1} \right) \cdot ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\frac{\pi }{4}tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {tg\frac{\pi }{4} - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {1 - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 + tg\,x}}{{\,tg\,x}}} \right) = {e^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin 2a - \sin 2x}}{{x - a}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{x - a}} = - 2\cos 2a[/math]


С первым я уже разобралась. вот со вторым не могу, после второго действия как там, мне подробное объяснение нужно, помогите пожалуйста, как из 2(cos(a-x)sin(a-x))/(x-a) получилось -2cos2a , какая это формула, я уже вроде все перебрала, а разобраться не могу.

Автор:  Yurik [ 10 янв 2013, 09:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

[math]... = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{x - a}} = - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\cos \left( {a + x} \right)\frac{{\sin \left( {a - x} \right)}}{{a - x}}} \right] = - 2\cos 2a \cdot 1 = - 2\cos 2a[/math]


Десятый можно решить простыми тригонометрическими преобразованиями.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg\,x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{\cos x{{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{\cos x \cdot 4{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2}[/math]

Автор:  Avgust [ 10 янв 2013, 11:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

10) я делаю в уме, рассуждая про себя так:

[math]tg(x) = x+\frac{x^3}{3}+...[/math]

[math]sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+...[/math]

[math]tg(x)-sin(x)=x+\frac{x^3}{3}-x+\frac{x^3}{6}=\frac{x^3}{2}[/math]

Поэтому [math]\lim \limits_{x \to 0}\frac{\frac{x^3}{2}}{x^3}=\frac 12[/math]

Всего-то нужно всегда помнить разложения элементарных функций.

Автор:  Yurik [ 10 янв 2013, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

Avgust
Ай-да молодец! :o

Автор:  Avgust [ 10 янв 2013, 11:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

Конечно молодец! Столько бумаги сэкономил! :D1

Автор:  Yurik [ 10 янв 2013, 11:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение предела функции

Avgust писал(а):
Всего-то нужно всегда помнить разложения элементарных функций.

Не проходили они ещё ряды :) . Или Вы для меня это рисуете?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/