Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 14 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| annaiutina |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Andy |
|
|
|
annaiutina
10) При [math]x \rightarrow 0[/math] [math]\sin x \sim x,[/math] [math]1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2,~\cos x \sim 1-\frac{1}{2}x^2,[/math] [math]\sin^3 x=(\sin x)^3 \sim x^3,[/math] [math]\operatorname{tg}x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\frac{\sin x -\sin x\cos x}{\cos x} \sim \frac{x-x\bigg(1-\frac{1}{2}x^2 \bigg)}{1-\frac{1}{2}x^3}=\frac{\frac{1}{2}x^3}{\frac{1}{2}(2-x^2)}=\frac{x^3}{2-x^2},[/math] [math]\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3 x} \sim \frac{x^3}{(2-x^2)x^3}=\frac{1}{2-x^2}.[/math] Поэтому [math]\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2-x^2}=\frac{1}{2}.[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: annaiutina, mad_math |
||
| Yurik |
|
|
|
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {ctg\,x} \right)^{ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {1 + ctg\,x - 1} \right)^{\frac{1}{{ctg\,x - 1}}\left( {ctg\,x - 1} \right) \cdot ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\frac{\pi }{4}tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {tg\frac{\pi }{4} - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {1 - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 + tg\,x}}{{\,tg\,x}}} \right) = {e^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin 2a - \sin 2x}}{{x - a}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{x - a}} = - 2\cos 2a[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали: annaiutina, mad_math |
||
| annaiutina |
|
|
|
Yurik писал(а): [math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {ctg\,x} \right)^{ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {1 + ctg\,x - 1} \right)^{\frac{1}{{ctg\,x - 1}}\left( {ctg\,x - 1} \right) \cdot ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\frac{\pi }{4}tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {tg\frac{\pi }{4} - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {1 - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 + tg\,x}}{{\,tg\,x}}} \right) = {e^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin 2a - \sin 2x}}{{x - a}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{x - a}} = - 2\cos 2a[/math] Yurik можно пожалуйста задать вопрос, что это за значок "exp" и как мы перешли из котангенса в танген, не могу разобраться. объясните пожалуйста. |
||
| Вернуться к началу | ||
| annaiutina |
|
|
|
annaiutina писал(а): Yurik писал(а): [math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {ctg\,x} \right)^{ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} {\left( {1 + ctg\,x - 1} \right)^{\frac{1}{{ctg\,x - 1}}\left( {ctg\,x - 1} \right) \cdot ctg\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}} = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\frac{\pi }{4}tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {tg\frac{\pi }{4} - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {1 + tg\,x} \right)\left( {1 - tg\,x} \right)}}{{\left( {1 - tg\,x} \right)\,tg\,x}}} \right) = \hfill \\ = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{1 + tg\,x}}{{\,tg\,x}}} \right) = {e^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin 2a - \sin 2x}}{{x - a}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{x - a}} = - 2\cos 2a[/math] С первым я уже разобралась. вот со вторым не могу, после второго действия как там, мне подробное объяснение нужно, помогите пожалуйста, как из 2(cos(a-x)sin(a-x))/(x-a) получилось -2cos2a , какая это формула, я уже вроде все перебрала, а разобраться не могу. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Yurik |
|
|
|
[math]... = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{x - a}} = - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\cos \left( {a + x} \right)\frac{{\sin \left( {a - x} \right)}}{{a - x}}} \right] = - 2\cos 2a \cdot 1 = - 2\cos 2a[/math]
Десятый можно решить простыми тригонометрическими преобразованиями. [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg\,x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{\cos x{{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{\cos x \cdot 4{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали: annaiutina |
||
| Avgust |
|
|
|
10) я делаю в уме, рассуждая про себя так:
[math]tg(x) = x+\frac{x^3}{3}+...[/math] [math]sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+...[/math] [math]tg(x)-sin(x)=x+\frac{x^3}{3}-x+\frac{x^3}{6}=\frac{x^3}{2}[/math] Поэтому [math]\lim \limits_{x \to 0}\frac{\frac{x^3}{2}}{x^3}=\frac 12[/math] Всего-то нужно всегда помнить разложения элементарных функций. Последний раз редактировалось Avgust 10 янв 2013, 11:45, всего редактировалось 1 раз. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Yurik |
|
|
|
Avgust
Ай-да молодец! ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Конечно молодец! Столько бумаги сэкономил!
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Yurik |
|
|
|
Avgust писал(а): Всего-то нужно всегда помнить разложения элементарных функций. Не проходили они ещё ряды . Или Вы для меня это рисуете? |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 14 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |