Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Последовательность без предела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=20741
Страница 1 из 1

Автор:  bashka_a [ 21 дек 2012, 18:43 ]
Заголовок сообщения:  Последовательность без предела

Доказать что последовательность не имеет предела
Изображение

Автор:  Ellipsoid [ 21 дек 2012, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Последовательность без предела

От противного. Пусть [math]\exists \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi n}{2}[/math]. Тогда [math]\exists \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi (n+1)}{2}[/math], причём [math]\lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi n}{2}=\lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi (n+1)}{2}[/math]. Значит, [math]\lim_{n \to \infty} \left( \cos \frac{\pi n}{2}- \cos \frac{\pi (n+1)}{2} \right)=0 \ \Leftrightarrow \ \lim_{n \to \infty}{\sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n }{2} \right)}=0[/math]. А теперь как-то нужно получить противоречие.

Автор:  Ellipsoid [ 21 дек 2012, 21:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Последовательность без предела

Можно использовать теорему, гласящую, что любая подпоследовательность последовательности, сходящейся к некоторому числу [math]a[/math], также сходится к этому числу. Отсюда следует, что для доказательства расходимости последовательности достаточно доказать сходимость хотя бы двух её подпоследовательностей к различным числам. Но, думаю, тут нужно доказывать иначе.

Автор:  Human [ 22 дек 2012, 13:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Последовательность без предела

Ellipsoid писал(а):
Можно использовать теорему, гласящую, что любая подпоследовательность последовательности, сходящейся к некоторому числу a, также сходится к этому числу. Отсюда следует, что для доказательства расходимости последовательности достаточно доказать сходимость хотя бы двух её подпоследовательностей к различным числам. Но, думаю, тут нужно доказывать иначе.



А чем плох этот способ? Тем более, что он в данном случае самый простой.

Автор:  Ellipsoid [ 22 дек 2012, 15:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Последовательность без предела

Human писал(а):
А чем плох этот способ? Тем более, что он в данном случае самый простой.


Возможно, тем и плох, что он самый простой. Это зависит от препода... :twisted:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/