Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=20610
Страница 1 из 1

Автор:  KNHOman [ 18 дек 2012, 19:03 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить предел

Добрый вечер.
Имеется предел такого вида:

[math]\lim_{x \to 0}\left( e^{x^{5}}\sqrt[3]{\cos{3x}}- \ln{(1 - \frac{3x}{2})^{2}}\right)^{\frac{1}{(e^{x}- 1)^{7}}+ \frac{1}{\ln^{7}{(1 - x)}}}[/math]

Его-то и нужно вычислить. Причем, насколько я понял из задания, с разложением в ряд Тейлора и использованием о-малого.

Автор:  Human [ 19 дек 2012, 02:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Проверьте ещё раз задание, вроде, должно быть [math]\ln\left(1-\frac{3x^2}2\right)[/math], а не [math]\ln\left(1-\frac{3x}2\right)^2[/math].

Автор:  KNHOman [ 20 дек 2012, 11:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

А ведь верно. Но ясности нет даже в этом случае.
Поможете с решением?

Автор:  Human [ 20 дек 2012, 16:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Ловите простыню.

[math]\cos3x=1-\frac92x^2+\frac{27}8x^4+o(x^5)[/math]

[math]\sqrt[3]{\cos3x}=1+\frac13\left(-\frac92x^2+\frac{27}8x^4\right)-\frac19\left(-\frac92x^2+\frac{27}8x^4\right)^2+o(x^5)=1-\frac32x^2+\frac98x^4-\frac94x^4+o(x^5)=1-\frac32x^2-\frac98x^4+o(x^5)[/math]

[math]e^{x^5}=1+x^5+o(x^5)[/math]

[math]\ln\left(1-\frac32x^2\right)=-\frac32x^2-\frac98x^4+o(x^5)[/math]

[math]e^{x^5}\sqrt[3]{\cos3x}-\ln\left(1-\frac32x^2\right)=\left(1+x^5+o(x^5)\right)\left(1-\frac32x^2-\frac98x^4+o(x^5)\right)-\left(-\frac32x^4-\frac98x^4+o(x^5)\right)=1+x^5+o(x^5)[/math]

[math]e^x-1=x+\frac12x^2+\frac16x^3+o(x^3)[/math]

[math](e^x-1)^7=x^7\left(1+\frac12x+\frac16x^2+o(x^2)\right)^7=x^7\left(1+7\left(\frac12x+\frac16x^2\right)+21\left(\frac12x+\frac16x^2\right)^2+o(x^2)\right)=x^7+\frac72x^8+\frac{77}{12}x^9+o(x^9)[/math]

[math]\frac1{(e^x-1)^7}=\frac1{x^7}\frac1{1+\frac72x+\frac{77}{12}x^2+o(x^2)}=\frac1{x^7}\left(1-\left(\frac72x+\frac{77}{12}x^2\right)+\left(\frac72x+\frac{77}{12}x^2\right)^2+o(x^2)\right)=\frac1{x^7}-\frac7{2x^6}+\frac{35}{6x^5}+o\left(\frac1{x^5}\right)[/math]

[math]\ln(1-x)=-x-\frac12x^2-\frac13x^3+o(x^3)[/math]

[math]\ln^7(1-x)=-x^7\left(1+\frac12x+\frac13x^2+o(x^2)\right)^7=-x^7\left(1+7\left(\frac12x+\frac13x^2\right)+21\left(\frac12x+\frac13x^2\right)^2+o(x^2)\right)=-x^7-\frac72x^8-\frac{91}{12}x^9+o(x^9)[/math]

[math]\frac1{\ln^7(1-x)}=-\frac1{x^7}\frac1{1+\frac72x+\frac{91}{12}x^2+o(x^2)}=-\frac1{x^7}\left(1-\left(\frac72x+\frac{91}{12}x^2\right)+\left(\frac72x+\frac{91}{12}x^2\right)^2+o(x^2)\right)=-\frac1{x^7}+\frac7{2x^6}-\frac{14}{3x^5}+o\left(\frac1{x^5}\right)[/math]

[math]\frac1{(e^x-1)^7}+\frac1{\ln^7(1-x)}=\frac7{6x^5}+o\left(\frac1{x^5}\right)[/math]

[math]\left(e^{x^5}\sqrt[3]{\cos3x}-\ln\left(1-\frac32x^2\right)\right)^{\frac1{(e^x-1)^7}+\frac1{\ln^7(1-x)}}=e^{\frac76+o(1)}[/math]

Автор:  KNHOman [ 20 дек 2012, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Премного благодарен за решение. Но не понял три момента:

1) Верно ли у вас раскрыты скобки:

[math]\left( 1 + x^{5}+o(x^{5}) \right)\left( 1 - \frac{3}{2}x^{2}- \frac{9}{8}x^{4}+ o(x^{5})\right) - \left( -\frac{3}{2}x^{2}- \frac{9}{8}x^{4}+ o(x^{5})\right) = 1 + x^{5}+ o(x^{5})[/math]

2) Как вы возводили [math]e^{x}- 1[/math] , а соответственно и [math]\ln{(1-x)}[/math], в седьмую степень? Если быть точным, то непонятны такие переходы:

[math]\left(1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^{2} + o(x^{2}) \right) ^{7}= \left( 1 + 7 \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^{2}\right) + 21 \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^{2}\right)^{2}+ o(x^{2})\right)[/math]

Аналогично и с логарифмом.

3) Как получился конечный результат:

[math]e^{\lim_{x \to 0}\left( \frac{7}{6x^{5}}+ o(x^{-5}) \right) \ln{ \left(1 + x^{5}+ o(x^{5})\right)}}= e^{\frac{7}{6}+ o(1)}[/math]

Автор:  Human [ 20 дек 2012, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

KNHOman писал(а):
1) Верно ли у вас раскрыты скобки:

[math]\left( 1 + x^{5}+o(x^{5}) \right)\left( 1 - \frac{3}{2}x^{2}- \frac{9}{8}x^{4}+ o(x^{5})\right) - \left( -\frac{3}{2}x^{2}- \frac{9}{8}x^{4}+ o(x^{5})\right) = 1 + x^{5}+ o(x^{5})[/math]


Да, всё верно. А как должно быть по Вашему?

KNHOman писал(а):
2) Как вы возводили [math]e^{x}- 1[/math] , а соответственно и [math]\ln{(1-x)}[/math], в седьмую степень? Если быть точным, то непонятны такие переходы:

[math]\left(1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^{2} + o(x^{2}) \right) ^{7}= \left( 1 + 7 \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^{2}\right) + 21 \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^{2}\right)^{2}+ o(x^{2})\right)[/math]
Аналогично и с логарифмом.


Так же, как и извлекал ранее кубический корень из косинуса: с помощью соответствующих формул Тейлора.

[math](1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+o(x^2)[/math]

KNHOman писал(а):
3) Как получился конечный результат:

[math]e^{\lim_{x \to 0}\left( \frac{7}{6x^{5}}+ o(x^{-5}) \right) \ln{ \left(1 + x^{5}+ o(x^{5})\right)}}= e^{\frac{7}{6}+ o(1)}[/math]


Такого я не писал, это во-первых. Во-вторых, это равенство некорректно: слева стоит число, а справа - функция от [math]x[/math].

Автор:  KNHOman [ 20 дек 2012, 21:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

1) Хм, сдается мне, что должно быть так:

[math]\left( 1 + x^{5} + o(x^{5}) \right) \left( 1 - \frac{ 3 }{ 2 } x^{2} - \frac{ 9 }{ 8 } x^{4} + o(x^{5}) \right) - \left( -\frac{ 3 }{ 2 } x^{2} - \frac{ 9 }{ 8 } x^{4} + o(x^{5}) \right) = 1 - \frac{ 3 }{ 2 } x^{2} - \frac{ 9 }{ 8 } x^{4} + o(x^{5}) + x^{5} -\frac{ 3 }{ 2 } x^{7} - \frac{ 9 }{ 8 } x^{9} + o(x^{10}) + o(x^{5}) - \frac{ 3 }{ 2 } o(x^{7}) - \frac{ 9 }{ 8 } o(x^{9}) + \frac{ 3 }{ 2 } x^{2} + \frac{ 9 }{ 8 } x^{4} - o(x^{5}) = 1 + x^{5} - \frac{ 3 }{ 2 } x^{7} - \frac{ 9 }{ 8 } x^{9} + o(x^{10}) + o(x^{5}) - \frac{ 3 }{ 2 } o(x^{7}) - \frac{ 9 }{ 8 } o(x^{9})[/math]

2) [math]\lim_{x \to 0 } \left( 1 + x^{5} + o(x^{5}) \right) ^ {\frac{ 7 }{ 6x^{5} } + o(\frac{ 1 }{ x^{5} })} = \left[ 1^{ \infty } \right] = e ^ { \ln{\lim_{x \to 0} \left( 1 + x^{5} + o(x^{5}) \right) ^ {\frac{ 7 }{ 6x^{5} } + o(\frac{ 1 }{ x^{5} })}} } = e ^ {\lim_{x \to 0} \left( \frac{ 7 }{ 6x^{5} } + o(\frac{ 1 }{ x^{5} }) \right) \ln{ \left( 1 + x^{5} + o(x^{5}) \right)} }[/math]

Разве не этим вы пользовались?

Автор:  Human [ 20 дек 2012, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

KNHOman писал(а):
1) Хм, сдается мне, что должно быть так:


Ну, и весь мусор, который стоит после второго слагаемого, есть [math]o(x^5)[/math].

KNHOman писал(а):
Разве не этим вы пользовались?


Этим. Далее нужно просто разложить логарифм до [math]o(x^5)[/math].

Автор:  KNHOman [ 20 дек 2012, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Human писал(а):
Далее нужно просто разложить логарифм до [math]o(x^5)[/math].


Прошу меня извинить, но не могли бы вы поподробнее расписать? Не варит голова у меня.
В скобке, что до логарифма, все равно же бесконечность получается.

Автор:  Human [ 21 дек 2012, 13:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

[math]\ln(1+x^5+o(x^5))=x^5+o(x^5)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/