Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=20282
Страница 1 из 2

Автор:  squidward [ 10 дек 2012, 14:41 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить предел

Получила вот такое выражение, но не могу точно сказать, законны ли следующие действия:

[math]{\lim_{n\to \infty}\bigg(\sqrt{\big( 1-{1 \over 2n} \big)^{2n}}\bigg)^n} \cdot (\sqrt e)^n = \lim_{n\to \infty} \frac1{(\sqrt e)^n} \cdot (\sqrt e)^n = \lim_{n\to \infty} 1^n = 1[/math]

Вопрос вот в чём: можно ли сначала вычислить предел первого выражения, не учитывая что оно в степени n? Можно ли сократить в конце [math]\sqrt e[/math], получить 1 и уже после этого учесть степень?
Короче говоря - можно ли таким образом, "поочередно", вычислить данный предел? Если нет - то как это делается правильно?

Автор:  Prokop [ 10 дек 2012, 18:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Так нельзя. Можно, например, так
[math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\left({1 - \frac{1}{{2n}}}\right)^{n^2}e^{\frac{n}{2}}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{\frac{n}{2}+ n^2 \ln \left({1 - \frac{1}{{2n}}}\right)}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{\frac{n}{2}+ n^2 \left({- \frac{1}{{2n}}- \frac{1}{{8n^2}}+ O\left({\frac{1}{{n^3}}}\right)}\right)}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{- \frac{1}{8}+ O\left({\frac{1}{n}}\right)}= e^{- \frac{1}{8}}[/math]

Автор:  squidward [ 10 дек 2012, 18:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Спасибо.
А можно всё же точнее, что здесь не так? Этим нельзя было пользоваться? - [math]$$ \lim_{n\to \infty}\sqrt{\big( 1-{1 \over 2n}\big)^{2n} } = \lim_{n\to \infty} \frac1{\sqrt e} $$[/math]

Автор:  Human [ 10 дек 2012, 18:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

А каким Вы правилом пользовались, когда заменяли в пределе выражение [math]\left(\sqrt{\left( 1-{1 \over 2n}\right)^{2n} }\right)^n[/math] на [math]\frac1{({\sqrt e})^n}[/math]? Есть, например, теоремы о пределе суммы, произведения. Есть правило, по которому множители можно заменять на эквивалентные, но эти выражения не эквивалентны. Тогда что?

Автор:  squidward [ 10 дек 2012, 19:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Human
Эти - нет, но если добавите с каждой стороны уравнения "[math]lim_{n\to \infty}[/math]" - то, если я не ошибаюсь, они эквивалентны. Ведь известно, что:
[math]$$ \lim_{n\to \infty}\big( 1-{1 \over 2n}\big)^{2n} = \lim_{n\to \infty} \frac1{e} $$[/math]
(это доказывается через более известное равенство: [math]$$ \lim_{n\to \infty}\big( 1+{1 \over 2n}\big)^{2n} = \lim_{n\to \infty} e $$[/math] )
Следовательно - (вот в этом я менее уверенна) - можно возвести обе стороны в степень n/2.

Автор:  Human [ 10 дек 2012, 19:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

squidward писал(а):
Следовательно - (вот в этом я менее уверенна) - можно возвести обе стороны в степень n/2.


А есть правило, согласно которому выражения сохраняют эквивалентность при возведении в степень, зависящую от [math]n[/math]?

[math]2^{1+\frac1n}\sim2[/math]

[math]2^{n+1}=2\cdot2^n\sim 2^n[/math] ?

Автор:  squidward [ 10 дек 2012, 19:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Human
А разве нет? [math]$$ a=b => a^n=b^n $$[/math]

Автор:  squidward [ 10 дек 2012, 19:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Human
В Вашем примере степень зависела от n изначально.

Автор:  Human [ 10 дек 2012, 19:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

squidward писал(а):
Human
А разве нет? [math]$$ a=b => a^n=b^n $$[/math]


Так, Вы знаете, что такое эквивалентность последовательностей?

squidward писал(а):
В Вашем примере степень зависела от n изначально.


Э-э... в Вашем тоже. Или Вы хотите сказать, что в выражении [math]\left(1-\frac1{2n}\right)^n[/math] нет степени [math]n[/math]?

Автор:  squidward [ 10 дек 2012, 19:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

[quote="Human"]Э-э... в Вашем тоже. [quote="Human"]
Ой... Пардон. Я слишком долго сижу над этой задачей, и совсем запуталась...

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/