Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19789
Страница 1 из 6

Автор:  winrey [ 26 ноя 2012, 09:14 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность. Найти точки разрыва, если они существуют, определить их тип. Сделать рисунок.

a) [math]y = \frac{ x^2-4 }{ x\left| x+2 \right| }[/math]

b) [math]y = \left\{\!\begin{aligned} & cos x, \boxed{ x \leqslant 0 } \\ & x^2+1, \boxed{ 0 < x < 1 } \\ & x, \boxed{ x \geqslant 1 } \end{aligned}\right.[/math]

С чего начать подскажите, пожалуйста.

Автор:  mad_math [ 26 ноя 2012, 15:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

С определения точек, подозрительных на разрыв и нахождения односторонних пределов в этих точках.

static.php?p=nepreryvnost-funktsii

Автор:  winrey [ 10 дек 2012, 14:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

Посмотрите пожалуйста правильно ли я решил

b) y = [math]\left\{\!\begin{aligned}
& cos x, \boxed{ x \leqslant 0 } \\ & x^2+1, \boxed{ 0 < x < 1 } \\ & x, \boxed{ x \geqslant 1 }
\end{aligned}\right.[/math]


Функция непрерывна на каждом интервале [math](- \infty ;0),(0;1),(1; \infty )[/math]
Пусть [math]x=0[/math], тогда
[math]\lim_{x \to 0-0}f(x) = \lim_{x \to 0-0}\cos{x} = \cos 0 = 1[/math]

[math]\lim_{x \to 0+0}f(x) = \lim_{x \to 0+0}(x^2+1)=0+1=1[/math]

Пределы справа и слева равны, поэтому в точке [math]x=0[/math] функция имеет устранимый разрыв первого рода

Пусть [math]x=1[/math], тогда
[math]\lim_{x \to 1-0}f(x) = \lim_{x \to 1-0}(x^2+1) = 1+1 = 2[/math]

[math]\lim_{x \to 1+0}f(x) = \lim_{x \to 1+0}x = 1[/math]

Пределы слева и справа не равны, поэтому в точке [math]x=1[/math] функция имеет конечный разрыв первого рода. Скачок функции равен [math]1[/math].

График:

Вложения:
.JPG
.JPG [ 11.81 Кб | Просмотров: 2046 ]

Автор:  mad_math [ 10 дек 2012, 15:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

По-моему, в точке x=0 функция непрерывна.

Автор:  winrey [ 10 дек 2012, 15:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

mad_math писал(а):
По-моему, в точке x=0 функция непрерывна.


Т.е. когда пределы равны в той точке функция непрерывна?

А график то правильный?

Автор:  mad_math [ 10 дек 2012, 16:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

winrey писал(а):
Т.е. когда пределы равны в той точке функция непрерывна?
Когда пределы равны между собой и равны значению функции в этой точке. У вас функция в точке [math]x=0[/math] определена и равна [math]\cos{0}[/math]

Автор:  winrey [ 10 дек 2012, 16:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

mad_math писал(а):
winrey писал(а):
Т.е. когда пределы равны в той точке функция непрерывна?
Когда пределы равны между собой и равны значению функции в этой точке. У вас функция в точке [math]x=0[/math] определена и равна [math]\cos{0}[/math]


Еще раз спрашиваю, график правильный?

Автор:  mad_math [ 10 дек 2012, 16:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

Нет.

Автор:  winrey [ 10 дек 2012, 18:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

А как тогда правильно будет?

Автор:  mad_math [ 10 дек 2012, 18:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность

Ну наверно там где-то должны быть графики косинуса и параболы, а не просто отрезки.

Страница 1 из 6 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/