Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить пределы функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19683
Страница 1 из 2

Автор:  delmel [ 22 ноя 2012, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить пределы функции

Всем доброго времени суток.
Прошу, помогите с вычислением пределов функций. В принципе, всё не так сложно, но на каком-то моменте вечно стопорюсь; не получается привести к замечательным пределам..
1) [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {(1 - {( ctg(4\pi x) )^{ - 1}})^{5{{ (\ln (e\; + \;\frac{3}{2}x\; - \;\frac{3}{2}) - 1)}^{ - 1}}}}[/math]
 
2) [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} - \frac{3}{2}\frac{{\sqrt[6]{x} - 1}}{{ctg(2\pi x)(\sqrt[5]{{\cos (4\pi x)}} - 1)}}[/math]
 
3) [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \; - 4{(x + 1)^{1 + 6\frac{1}{{\sqrt x }}}}(\sqrt[5]{{{x^6} - \;3{x^5} + 1}} - \sqrt[5]{{{x^6} + \;{x^5} + 1}})[/math]
 
4) [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \;\frac{{5\sin (\pi x) - 5*{{(\;tg(4\pi x)\;)}^2}}}{{(x - 2)*{2^{2x - 4}}}}[/math]

Автор:  delmel [ 22 ноя 2012, 20:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

для удобства выполнил начальные преобразования.
 
1) [math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {(1 - \frac{{\sin (4\pi (t + 1))}}{{\cos (4\pi (t + 1))}})^{\frac{5}{{\ln (e\; + \;\frac{3}{2}t) - 1}}}}[/math]
 
2) [math]- \frac{3}{2}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{(\sqrt[6]{{t + 1}} - 1)(\;\;\sin \;(2\pi (t + 1))\;\;)}}{{\cos (2\pi (t + 1))(\sqrt[5]{{\cos (4\pi (t + 1))}} - 1)}}[/math]
 
3) [math]- 4\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;{(x + 1)^{\frac{6}{{\sqrt x }} + 1}}(\sqrt[5]{{{x^6} - \;3{x^5} + 1}} - \sqrt[5]{{{x^6} + \;{x^5} + 1}})[/math]
 
4) [math]5\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \;\frac{{\sin (\;\pi (t + 2)\;) - {{(\;\frac{{\sin (4\pi (t + 2))}}{{\cos (4\pi (t + 2))}}\;)}^2}}}{{t*{4^t}}}[/math]

Автор:  Avgust [ 23 ноя 2012, 07:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

2)
Изображение

Автор:  delmel [ 24 ноя 2012, 20:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

Avgust, при всём уважении.. Ваши выкладки совершенно не очевидны (для меня). Не могли бы Вы расписать Ваши действия подробнее, пожалуйста?

Может ещё кто-нибудь помочь с остальными примерами?

Автор:  Avgust [ 24 ноя 2012, 21:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

Выкладки простые: я применил ЭБМ типа [math](1+u)^k-1\sim ku \qquad (k>0 \, ; \, u \to 0)[/math]

Запомните его - очень часто помогает и упрощает вычисления.

Далее: [math]tg(u) \sim u[/math]

Ну а знаменатель разложил по формуле Тэйлора в точке t=0 и записал первый член этого ряда.

Подробней так:

[math]\cos[4 \pi (t+1)] = \cos(4 \pi t)[/math]

Тогда ЭБМ по формуле Тэйлора:

[math]\big [ \cos(4 \pi t )\big ]^{\frac 15}-1 \sim -\frac{8 \pi ^2 t^2}{5}[/math]

Если не верите или не умеете вычислять, то вот доказательство http://www.wolframalpha.com/input/?i=ta ... 1%2F5%29-1

Автор:  delmel [ 25 ноя 2012, 07:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

С ЭБМ всё понятно, спасибо за формулу.
А вот Тейлор... Понимаете ли, мы ещё не проходили Тейлора, ряды и т.п.. возможно как-нибудь без формулы Тейлора к ответу прийти?

Люди, помогите с остальными пределами, пожалуйста.

P.S. Avgust, или, если Вам будет нетрудно, приведите формулу Тейлора здесь с объяснением, которую Вы использовали в выкладках.

Автор:  Avgust [ 25 ноя 2012, 08:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

Слушайте, Вы в институте учитесь или в школе?
Почитайте хотя бы http://www.exponenta.ru/EDUCAT/CLASS/co ... eory.asp#1

Конкретно Ваш знаменатель я так решал (принимая [math]t_0=0[/math]):

[math]f(t_0)=\big [\cos(4\pi t_0 \big ]^{\frac 15}-1=0[/math]

[math]\frac{f'(t_0)}{1!}(t-t_0)=-\frac 45 \frac{\sin(4\pi t_0) \pi}{\big [\cos(4\pi t_0 \big ]^{\frac 45}}(t-t_0)=0[/math]

[math]\frac{f''(t_0)}{2!}(t-t_0)^2=-\frac {1}{2!} \frac{64}{25} \frac{\sin^2(4 \pi t_0) \pi^2}{\big [\cos(4\pi t_0 \big ]^{\frac 95}}}(t-t_0)^2-\frac {1}{2!} \frac{16}{5}\big [\cos(4\pi t_0 \big ]^{\frac 15} \pi^2 (t-t_0)^2 =0-\frac{16 \pi^2 t^2}{2! \cdot 5}[/math]

Последнее и есть ЭБМ.

Автор:  Human [ 25 ноя 2012, 15:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

Тейлор тут и не нужен. Достаточно использовать пару эквивалентностей

[math]\sqrt[5]{\cos(4\pi t)}-1=\sqrt[5]{1-2\sin^2(2\pi t)}-1\sim-\frac25\sin^2(2\pi t)\sim-\frac{8\pi^2}5t^2[/math]

Автор:  delmel [ 26 ноя 2012, 17:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

Human, Avgust, огромное спасибо Вам за помощь; всё понятно.
Но тема ещё не закрыта.. Если не сложно, люди, помогите с остальными пределами, пожалуйста.
[spoiler=Спойлер]
delmel писал(а):
 
1) [math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {(1 - \frac{{\sin (4\pi (t + 1))}}{{\cos (4\pi (t + 1))}})^{\frac{5}{{\ln (e\; + \;\frac{3}{2}t) - 1}}}}[/math]
 
2) [math]- \frac{3}{2}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{(\sqrt[6]{{t + 1}} - 1)(\;\;\sin \;(2\pi (t + 1))\;\;)}}{{\cos (2\pi (t + 1))(\sqrt[5]{{\cos (4\pi (t + 1))}} - 1)}}[/math]
 
3) [math]- 4\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;{(x + 1)^{\frac{6}{{\sqrt x }} + 1}}(\sqrt[5]{{{x^6} - \;3{x^5} + 1}} - \sqrt[5]{{{x^6} + \;{x^5} + 1}})[/math]
 
4) [math]5\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \;\frac{{\sin (\;\pi (t + 2)\;) - {{(\;\frac{{\sin (4\pi (t + 2))}}{{\cos (4\pi (t + 2))}}\;)}^2}}}{{t*{4^t}}}[/math]
[/spoiler]

Автор:  delmel [ 27 ноя 2012, 20:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить пределы функции

Пожалуйста, проверьте выкладки. Написал всё кратко (в решении использовались вышеподсказанные приёмы).
 
1) [math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} 5\frac{{\sin (\pi (t + 2)) - \;t{g^2}(4\pi (t + 2))}}{{t*{4^t}}} = \;\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} 5\frac{{\pi t - 16{\pi ^2}{t^2}}}{{t*{4^t}}}\, = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} 5\frac{{\pi - 16{\pi ^2}t}}{{{4^t}}}[/math]
 
при [math]t \to 0[/math] предел функции равен [math]5\pi[/math].
 
3) [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } - 4{(x + 1)^{1 + \frac{6}{{\sqrt x }}}}(\sqrt[5]{{{x^6} - 3{x^5} + 1}} - \sqrt[5]{{{x^6} + {x^5} + 1}})[/math]
заменяю: [math]t = \frac{1}{x}[/math][math]\Rightarrow x = \frac{1}{t}[/math]       [math]t \to 0[/math] при [math]x \to \infty[/math] ;
 
[math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \; - 4{(\frac{1}{t} + 1)^{6\sqrt t + 1}}\left( {{{(\frac{{1 - 3t}}{{{t^6}}} + 1)}^{\frac{1}{5}}} - {{(\frac{{1 + t}}{{{t^6}}} + 1)}^{\frac{1}{5}}}} \right)[/math]
 
применяю [math]{\left( {1 + k} \right)^m} \sim \;km + 1\;\;\;(k \to 0,\;m > 0)[/math]; скажите, можно здесь это применить? у меня сошлось с ответом, но я не уверен, что не нужно обосновывать применение этого здесь. (смущает наличие t в степени).
 
[math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} - 4(\frac{{6\sqrt t + 1}}{t})(\frac{1}{5}\left( {\frac{{1 - 3t}}{{{t^6}}} - \frac{{t + 1}}{{{t^6}}}} \right)) = \;\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} - \frac{4}{5}\left( {\frac{{6\sqrt t + 1}}{{{t}}}} \right)\left( {\frac{{ - 4t}}{{{t^6}}}} \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{4}{5}\left( {\frac{{6\sqrt t + 1}}{{{t^6}}}} \right)\left( {\frac{4}{{{t^5}}}} \right)[/math]
 
[math]= \frac{4}{5}\left( {\frac{{( \to 0) + 1}}{{( \to 0)}}} \right)\left( {\frac{4}{{( \to 0)}}} \right) = \infty[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/