Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Доказать что точка а устранимая особая точка http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=52&t=79960 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Dr_Zet [ 19 май 2023, 16:34 ] |
Заголовок сообщения: | Доказать что точка а устранимая особая точка |
[math]\frac{ 1 }{ cos^{2}(z) } - \frac{ 1 }{ (z - \frac{ \pi }{ 2 })^{2} }[/math] В точке a = \frac{ \pi }{ 2 } Ну и я чето поплыл.. |
Автор: | Dr_Zet [ 19 май 2023, 16:36 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать что точка а устранимая особая точка |
*Судя по последовательности тем в задачнике, эту задачу надо решать с помошью пределов, ибо ряды Лорана идут потом. |
Автор: | revos [ 21 май 2023, 11:46 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать что точка а устранимая особая точка |
Dr_Zet Да , надо вычислить предел заданного выражения в точке [math]\mathsf{a} = \frac{\pi }{ 2 }[/math], и убедиться , что он имеет конечное значение. Для уменьшения громоздкости удобно ввести новую комплексную переменную [math]\mathsf{w} = \mathsf{z} - \frac{ \pi }{ 2 } \quad[/math] .Тогда [math]\lim_{\mathsf{z} \to \frac{ \pi }{ 2 } } \left[ \frac{ 1 }{ \cos^{2} { \mathsf{z} } } - \frac{ 1 }{ \left( \mathsf{z} - \frac{ \pi }{ 2 } \right)^{2} }\right] = \lim_{ \mathsf{w} \to 0}\left( \frac{ 1 }{ \sin^{2} { \mathsf{w} } } - \frac{ 1 }{ \mathsf{w} ^{2} } \right)[/math]. Как правило, в самом начале курса ТФКП (ещё до рядов Лорана) сами основные тригонометрические функции комплексной переменной определяются через ряды. При этом сохраняются все соотношения, аналогичные тем, что имеются для действительной переменной. Собственно , сделанное выше преобразование уже использовало формулу приведения. Далее, чтобы не возводить в квадрат ряд, соответствующий синусу, лучше перейти к двойному аргументу и использовать ряд для косинуса: [math]\sin^{2} { \mathsf{w} } = \frac{ 1 - \cos{2 \mathsf{w} } }{ 2 } = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \left( \frac{ \left( 2 \mathsf{w} \right)^{2} }{ 2! } + \frac{ \left( 2 \mathsf{w} \right)^{4} }{ 4! } + ... \right) = \mathsf{w} ^{2} \cdot \left( 1+ \frac{ \mathsf{w} ^{2} }{ 3 } + ... \right)[/math]. Далее разность дробей под знаком предела приводите к общему знаменателю. Ответ : [math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math] |
Автор: | revos [ 21 май 2023, 14:42 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Доказать что точка а устранимая особая точка |
В разложении [math]\sin^{2} { \mathsf{w} }[/math] в самом конце - опечатка. Перед слагаемым[math]\frac{ \left( 2 \mathsf{w} \right)^{4} }{ 4! }[/math], должен быть знак " [math]-[/math]", как потом и перед [math]\frac{ \mathsf{w} ^{2} }{ 3}[/math] . Конечный результат тот же. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |