Доказать что точка а устранимая особая точка

[math]\frac{ 1 }{ cos^{2}(z) } - \frac{ 1 }{ (z - \frac{ \pi }{ 2 })^{2} }[/math]
В точке a = \frac{ \pi }{ 2 }
Ну и я чето поплыл..

*Судя по последовательности тем в задачнике, эту задачу надо решать с помошью пределов, ибо ряды Лорана идут потом.

Dr_Zet
Да , надо вычислить предел заданного выражения в точке [math]\mathsf{a} = \frac{\pi }{ 2 }[/math], и убедиться , что он имеет конечное значение. Для уменьшения громоздкости удобно ввести новую комплексную переменную [math]\mathsf{w} = \mathsf{z} - \frac{ \pi }{ 2 } \quad[/math] .Тогда [math]\lim_{\mathsf{z} \to \frac{ \pi }{ 2 } } \left[ \frac{ 1 }{ \cos^{2} { \mathsf{z} } } - \frac{ 1 }{ \left( \mathsf{z} - \frac{ \pi }{ 2 } \right)^{2} }\right] = \lim_{ \mathsf{w} \to 0}\left( \frac{ 1 }{ \sin^{2} { \mathsf{w} } } - \frac{ 1 }{ \mathsf{w} ^{2} } \right)[/math].
Как правило, в самом начале курса ТФКП (ещё до рядов Лорана) сами основные тригонометрические функции комплексной переменной определяются через ряды. При этом сохраняются все соотношения, аналогичные тем, что имеются для действительной переменной. Собственно , сделанное выше преобразование уже использовало формулу приведения. Далее, чтобы не возводить в квадрат ряд, соответствующий синусу, лучше перейти к двойному аргументу и использовать ряд для косинуса: [math]\sin^{2} { \mathsf{w} } = \frac{ 1 - \cos{2 \mathsf{w} } }{ 2 } = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \left( \frac{ \left( 2 \mathsf{w} \right)^{2} }{ 2! } + \frac{ \left( 2 \mathsf{w} \right)^{4} }{ 4! } + ... \right) = \mathsf{w} ^{2} \cdot \left( 1+ \frac{ \mathsf{w} ^{2} }{ 3 } + ... \right)[/math]. Далее разность дробей под знаком предела приводите к общему знаменателю.
Ответ : [math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math]

В разложении [math]\sin^{2} { \mathsf{w} }[/math] в самом конце - опечатка.
Перед слагаемым[math]\frac{ \left( 2 \mathsf{w} \right)^{4} }{ 4! }[/math], должен быть знак " [math]-[/math]", как потом и перед [math]\frac{ \mathsf{w} ^{2} }{ 3}[/math] . Конечный результат тот же.