Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 35 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ptor00 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Можно найти член при [math]z^{-1}[/math] в разложении в ряд Лорана (с отрицательным знаком).
|
||
Вернуться к началу | ||
ptor00 |
|
|
searcher
Да, но получается [math]\boldsymbol{C_{-1}} = \frac{ 1 }{ 2 \boldsymbol{\Pi} \boldsymbol{i} } \oint\limits_{ \boldsymbol{C_{ \boldsymbol{\rho} }}( \infty ) } \frac{ 1 }{ \sin{\frac{ 1 }{ \boldsymbol{z} } } \boldsymbol{d} \boldsymbol{z} }[/math]. Не понимаю как взять такой интеграл. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
ptor00 писал(а): Не понимаю как взять такой интеграл. Не обязательно решать через интеграл. Можно начать с разложения в ряд Лорана функции [math]f(z)=\frac{ 1 }{ \sin z }[/math] и найти член при [math]z[/math] . P.S. наверное ерунду написал. Нас интересует ведь разложение при [math]z= \infty[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
searcher писал(а): P.S. наверное ерунду написал. Нас интересует ведь разложение при z=∞ . Лорановское разложение в [math]z= \infty[/math] можно получить заменой [math]w=1 \slash z[/math] и раскладывать новую функцию в нуле. Так что всё же не ерунда. |
||
Вернуться к началу | ||
ptor00 |
|
|
searcher
Есть стандартное разложение для синуса, а как получить разложение для 1/sin, не могу разобраться. Вообще в задачнике дан такой ответ (на фото). То есть как-будто используется теорема о равенстве нулю суммы всех вычетов, но как я понимаю ее здесь нельзя использовать, ведь есть неизолированная особая точка z=0. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
ptor00 писал(а): Есть стандартное разложение для синуса, а как получить разложение для 1/sin, не могу разобраться. Можно попробовать поделить столбиком. В принципе нам достаточно найти разложение при [math]z[/math] : [math]\frac{ 1 }{ \sin z } = z^{-1}+\frac{ z }{ 6 } +...[/math] . Так что ответ получается такой же: [math]-\frac{ 1 }{ 6 }[/math] , что и вашем задачнике. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: ptor00 |
||
searcher |
|
|
ptor00 писал(а): но как я понимаю ее здесь нельзя использовать Не могу ничего сказать. |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
Требуется взять интеграл с помощью вычетов: [math]\int\limits_{0}^{ \infty }\frac{\sin{ax}}{x}dx[/math]
Я пытался решить задачу так: [math]\int\limits_{0}^{ \infty }\frac{\sin{ax}}{x}dx=\frac{1}{2} \int\limits_{- \infty }^{ \infty }\frac{\sin{ax}}{x}dx=\frac{1}{2}Im\int\limits_{- \infty }^{ \infty }\frac{e^{iax}}{x}dx[/math] Особая точка лежит на оси х, поэтому применять лемму Жордана затруднительно. Я попытался обойти это препятствие следующим образом: я заменил в знаменателе [math]x[/math] на [math]x-i \varepsilon[/math], тогда особая точка переезжает в верхнюю полуплоскось; теперь можно применить лемму Жордана, после чего устремить [math]\varepsilon[/math] к нулю: [math]\frac{1}{2}Im\int\limits_{- \infty }^{ \infty }\frac{e^{iax}}{x-i \varepsilon }dx=\frac{1}{2}Im\left\{ 2 \pi i Res\left[ \frac{e^{iax}}{x-i \varepsilon };i \varepsilon \right]\right\}=\frac{1}{2}Im\left\{2 \pi i \frac{e^{ia \cdot i \varepsilon}}{1}\right\}=\frac{1}{2}Im\left( 2 \pi i e^{-a \varepsilon}\right)= \pi e^{-a \varepsilon}[/math]. При [math]\varepsilon \to 0[/math] получается [math]\pi[/math]. Однако этот интеграл [math]-[/math] известный интеграл Дирихле, и он равен [math]\frac{ \pi }{2}[/math]. В чем моя ошибка? |
||
Вернуться к началу | ||
mysz |
|
|
Для интегралов вида [math]\int_{-\infty}^{+\infty}Q(x)e^{iax}\,dx[/math], где Q -- рациональная функция, имеющая в т.ч. простые полюсы на вещественной оси, интеграл считается так же, как и для случая без таких полюсов, с одной разницей. Вычеты в нулях знаменателя в полуплоскости (верхней/нижней, смотря по знаку a), берутся полные, а на оси - половины вычетов.
Ошибка не самая очевидная. Предельный переход под знаком интеграла принято обосновывать. Тут не получится. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mysz "Спасибо" сказали: Exzellenz |
||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 35 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вычеты,ТФКП | 9 |
399 |
19 ноя 2020, 20:37 |
|
Вычеты | 3 |
352 |
06 апр 2018, 00:50 |
|
Вычеты
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
347 |
30 апр 2015, 07:09 |
|
Вычеты | 1 |
321 |
21 май 2016, 07:10 |
|
Вычеты | 4 |
797 |
11 дек 2016, 20:46 |
|
Интеграла и вычеты | 1 |
220 |
07 июн 2019, 23:35 |
|
Найти вычеты | 1 |
163 |
15 май 2020, 10:17 |
|
Найти вычеты | 1 |
317 |
20 сен 2015, 18:19 |
|
Квадратичные вычеты
в форуме Теория чисел |
8 |
521 |
15 мар 2017, 21:21 |
|
Вычеты функции | 0 |
294 |
21 дек 2014, 09:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |