Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 апр 2022, 13:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2021, 13:05
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, подскажите пожалуйста, как можно найти вычет функции [math]\boldsymbol{f(z)} = \frac{ 1 }{ \sin{( 1\slash z)} }[/math] в точке [math]\boldsymbol{z} = \infty[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 апр 2022, 15:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно найти член при [math]z^{-1}[/math] в разложении в ряд Лорана (с отрицательным знаком).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 апр 2022, 15:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2021, 13:05
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Да, но получается [math]\boldsymbol{C_{-1}} = \frac{ 1 }{ 2 \boldsymbol{\Pi} \boldsymbol{i} } \oint\limits_{ \boldsymbol{C_{ \boldsymbol{\rho} }}( \infty ) } \frac{ 1 }{ \sin{\frac{ 1 }{ \boldsymbol{z} } } \boldsymbol{d} \boldsymbol{z} }[/math].
Не понимаю как взять такой интеграл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 апр 2022, 15:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ptor00 писал(а):
Не понимаю как взять такой интеграл.

Не обязательно решать через интеграл. Можно начать с разложения в ряд Лорана функции [math]f(z)=\frac{ 1 }{ \sin z }[/math] и найти член при [math]z[/math] .

P.S. наверное ерунду написал. Нас интересует ведь разложение при [math]z= \infty[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 апр 2022, 16:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
P.S. наверное ерунду написал. Нас интересует ведь разложение при z=∞ .

Лорановское разложение в [math]z= \infty[/math] можно получить заменой [math]w=1 \slash z[/math] и раскладывать новую функцию в нуле.
Так что всё же не ерунда.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 апр 2022, 17:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2021, 13:05
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Есть стандартное разложение для синуса, а как получить разложение для 1/sin, не могу разобраться.

Вообще в задачнике дан такой ответ (на фото). То есть как-будто используется теорема о равенстве нулю суммы всех вычетов, но как я понимаю ее здесь нельзя использовать, ведь есть неизолированная особая точка z=0. Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 апр 2022, 18:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ptor00 писал(а):
Есть стандартное разложение для синуса, а как получить разложение для 1/sin, не могу разобраться.

Можно попробовать поделить столбиком. В принципе нам достаточно найти разложение при [math]z[/math] : [math]\frac{ 1 }{ \sin z } = z^{-1}+\frac{ z }{ 6 } +...[/math] . Так что ответ получается такой же: [math]-\frac{ 1 }{ 6 }[/math] , что и вашем задачнике.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
ptor00
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 апр 2022, 18:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ptor00 писал(а):
но как я понимаю ее здесь нельзя использовать

Не могу ничего сказать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 сен 2022, 13:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Требуется взять интеграл с помощью вычетов: [math]\int\limits_{0}^{ \infty }\frac{\sin{ax}}{x}dx[/math]
Я пытался решить задачу так:

[math]\int\limits_{0}^{ \infty }\frac{\sin{ax}}{x}dx=\frac{1}{2} \int\limits_{- \infty }^{ \infty }\frac{\sin{ax}}{x}dx=\frac{1}{2}Im\int\limits_{- \infty }^{ \infty }\frac{e^{iax}}{x}dx[/math]

Особая точка лежит на оси х, поэтому применять лемму Жордана затруднительно. Я попытался обойти это препятствие следующим образом: я заменил в знаменателе [math]x[/math] на [math]x-i \varepsilon[/math], тогда особая точка переезжает в верхнюю полуплоскось; теперь можно применить лемму Жордана, после чего устремить [math]\varepsilon[/math] к нулю:

[math]\frac{1}{2}Im\int\limits_{- \infty }^{ \infty }\frac{e^{iax}}{x-i \varepsilon }dx=\frac{1}{2}Im\left\{ 2 \pi i Res\left[ \frac{e^{iax}}{x-i \varepsilon };i \varepsilon \right]\right\}=\frac{1}{2}Im\left\{2 \pi i \frac{e^{ia \cdot i \varepsilon}}{1}\right\}=\frac{1}{2}Im\left( 2 \pi i e^{-a \varepsilon}\right)= \pi e^{-a \varepsilon}[/math]. При [math]\varepsilon \to 0[/math] получается [math]\pi[/math].

Однако этот интеграл [math]-[/math] известный интеграл Дирихле, и он равен [math]\frac{ \pi }{2}[/math]. В чем моя ошибка?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ТФКП: вычеты
СообщениеДобавлено: 01 сен 2022, 16:53 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 03:04
Сообщений: 274
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
59 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для интегралов вида [math]\int_{-\infty}^{+\infty}Q(x)e^{iax}\,dx[/math], где Q -- рациональная функция, имеющая в т.ч. простые полюсы на вещественной оси, интеграл считается так же, как и для случая без таких полюсов, с одной разницей. Вычеты в нулях знаменателя в полуплоскости (верхней/нижней, смотря по знаку a), берутся полные, а на оси - половины вычетов.

Ошибка не самая очевидная. Предельный переход под знаком интеграла принято обосновывать. Тут не получится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mysz "Спасибо" сказали:
Exzellenz
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 35 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычеты,ТФКП

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Zhamal_

9

399

19 ноя 2020, 20:37

Вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

nickspa

3

351

06 апр 2018, 00:50

Вычеты

в форуме Интегральное исчисление

naffochka

2

347

30 апр 2015, 07:09

Вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

KAROLINA VENNER

1

321

21 май 2016, 07:10

Вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

drago123

4

797

11 дек 2016, 20:46

Интеграла и вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

sapir

1

220

07 июн 2019, 23:35

Найти вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Valerikk

1

163

15 май 2020, 10:17

Найти вычеты

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

M9ICO

1

317

20 сен 2015, 18:19

Квадратичные вычеты

в форуме Теория чисел

Login V

8

521

15 мар 2017, 21:21

Вычеты функции

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Emma

0

294

21 дек 2014, 09:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved