Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Коэфициенты ряда лорана для кольца |z|>R
СообщениеДобавлено: 01 авг 2021, 22:39 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 21:20
Сообщений: 292
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть такая функция.[math]f(z)=\frac{ 1 }{ (z^2-4)^2 }[/math];разложить нужно к кольце [math]|z+2|>4[/math]
И есть метод решения, в котором нужно считать коэффициенты через интегралы. для такого рода функций это удобнее, как мне казалось.
Я делаю так:
[math]c_n=\frac{ 1 }{ 2 \pi i } \oint\limits_{ \gamma }\frac{ f(z) }{(z+2)^{n+1} } \, dz=\frac{ 1 }{ 2 \pi i } \oint\limits_{ \gamma }\frac{\frac{ 1 }{ (z-2)^2 } }{(z+2)^{n+3} } \, dz[/math]
Все было бы хорошо, и таким образом давольно быстро я эти коэффициенты нахожу. только разложение мое выходит не для внешнего кольца, а для внутреннего.
в учебниках во всех,как один, приводят примеры для внутренних колец. но как раскладывать,для внешнего кольца?
что нужно заменить? и не приведет ли эта замена к существенным усложнением вычислений в таком случае?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коэфициенты ряда лорана для кольца |z|>R
СообщениеДобавлено: 02 авг 2021, 07:18 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может путь [math]\gamma[/math] неправильно выбрали?
God_mode_2016 писал(а):
для такого рода функций это удобнее, как мне казалось.

Это вряд ли. Но для прояснения теории интересно попробовать и так.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коэфициенты ряда лорана для кольца |z|>R
СообщениеДобавлено: 02 авг 2021, 10:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
в учебниках во всех,как один, приводят примеры для внутренних колец. но как раскладывать,для внешнего кольца?

Для начала неплохо разобраться с простейшим случаем. Допустим [math]f(z)=\frac{ 1 }{ 1-z }[/math] . И надо по определению (то есть через интегралы) найти коэффициенты ряда Лорана в двух кольцах. Первое кольцо: [math]|z|<1[/math] . Второе кольцо: [math]|z|>1[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коэфициенты ряда лорана для кольца |z|>R
СообщениеДобавлено: 02 авг 2021, 16:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
Я делаю так:

God_mode_2016 писал(а):
Все было бы хорошо, и таким образом давольно быстро я эти коэффициенты нахожу. только разложение мое выходит не для внешнего кольца, а для внутреннего.

Формулы для коэффициентов для внешнего и внутреннего кольца одинаковы за исключением одного момента. Интегрирование ведётся по разным контурам. И особая точка [math]z=2[/math] попадает в один контур, а в другой нет. Поскольку никакой информации, что и как вы считали, у меня нет, поэтому я и сделал вывод:
searcher писал(а):
Может путь γ неправильно выбрали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коэфициенты ряда лорана для кольца |z|>R
СообщениеДобавлено: 02 авг 2021, 16:56 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 21:20
Сообщений: 292
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Может путь γ неправильно выбрали?

Спасибо. Я разобрался. Нужно было замену сделать. [math]\frac{ 1 }{ z+2 }=w[/math] и тогда искать коэффициенты для нового ряда в новом кольце. Теорема работает как надо. Потом просто сделать обратную замену для ряда.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коэфициенты ряда лорана для кольца |z|>R
СообщениеДобавлено: 02 авг 2021, 17:03 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 21:20
Сообщений: 292
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Это вряд ли. Но для прояснения теории интересно попробовать и так.

для функций вида [math]\frac{1 }{(z-a)^n(z+a)^k }[/math] удобно искать коэффициенты разложений в точках [math]\pm a[/math] именно через интегралы, как я заметил. причем, чем выше степени [math]n[/math] и [math]k[/math], тем выгоднее расчет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Коэфициенты ряда лорана для кольца |z|>R
СообщениеДобавлено: 03 авг 2021, 13:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
Есть такая функция.[math]f(z)=\frac{ 1 }{ (z^2-4)^2 }[/math];разложить нужно к кольце [math]|z+2|>4[/math]
И есть метод решения, в котором нужно считать коэффициенты через интегралы. для такого рода функций это удобнее, как мне казалось.
Я делаю так:
[math]c_n=\frac{ 1 }{ 2 \pi i } \oint\limits_{ \gamma }\frac{ f(z) }{(z+2)^{n+1} } \, dz=\frac{ 1 }{ 2 \pi i } \oint\limits_{ \gamma }\frac{\frac{ 1 }{ (z-2)^2 } }{(z+2)^{n+3} } \, dz[/math]
Все было бы хорошо, и таким образом давольно быстро я эти коэффициенты нахожу. только разложение мое выходит не для внешнего кольца, а для внутреннего.
в учебниках во всех,как один, приводят примеры для внутренних колец. но как раскладывать,для внешнего кольца?
что нужно заменить? и не приведет ли эта замена к существенным усложнением вычислений в таком случае?

Как всё усложнили, когда можно разложить исходное дробное выражение на сумму элементарных дробей. И потом уже по отдельности разложить их через лорановские ряды.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Коэффициенты при степени ряда Лорана

в форуме Ряды

kontroman

4

140

16 дек 2019, 22:49

Главная часть ряда Лорана

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Snofr

1

176

16 апр 2018, 16:17

Найти область сходимости ряда Лорана

в форуме Ряды

Marco_33

3

731

22 июн 2014, 21:48

найти область сходимости ряда лорана

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kanstkamelast

1

459

01 июн 2014, 01:59

Идеалы кольца

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Leonid313

3

475

29 май 2015, 13:22

Кольца и поля

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Viktor963p0

5

383

27 фев 2017, 11:11

Кольца Ньютона

в форуме Оптика и Волны

Zed

1

1955

22 ноя 2015, 09:25

Обруч и два кольца

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

20

290

13 дек 2023, 11:59

Кольца подкольца множества

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

HELP___ME__

6

513

05 июн 2016, 14:56

Евклидовы кольца, единица

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

dorr

2

381

14 янв 2016, 00:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: slava_psk и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved