Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Гипотеза Коллатца (доказательство)
СообщениеДобавлено: 17 фев 2023, 10:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2022, 16:01
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Гипотеза Коллатца
Это одна из нерешенных проблем математики. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки:
- Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, разделим его на 2, а если нечетное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n+1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.
Какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу, - так гласит гипотеза. И надо это доказать.

Давайте посмотрим на последовательности в гипотезе Коллатца (3n+1):

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
5, 16, 8, 4, 2, 1
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Таблица нечетных чисел

Изображение

Обратим внимание, что первая строка таблицы - это ни что иное, как последовательность A002450: 1, 5, 21, 85, 341, 1365...
Справочник OEIS предлагает нам следующую формулу: a(m+1) = 4*a(m) + 1.

Связь таблицы с гипотезой
Шаг назад в гипотезе Коллатца выглядит следующим образом, пусть n – нечетное число, тогда:
- Чтобы получить предыдущее мы должны умножить n*2.
- Предположим, перед 2n находится нечетное число x. Тогда справедливо равенство: [math]3x + 1 = 2n[/math]
- Получаем [math]x = \frac {2n-1} {3}[/math].
- Результат [math]\frac {2n} {3} - \frac 1 3[/math] будет целым только в том случае, если n ≡ 2 mod(3).

Тогда для n ≡ 1 mod(3) удвоим количество четных чисел:
- Умножаем n на 2, и снова на 2.
- Предположим, перед 4n находится нечетное число x. Тогда справедливо равенство: [math]3x + 1 = 4n[/math]
- Получаем [math]x = \frac {4n-1} {3}[/math].
- Результат [math]\frac {4n} {3} - \frac 1 3[/math] всегда будет целый для n ≡ 1 mod(3).

Таким образом мы установили зависимость одного нечетного числа от другого.

Итак, в таблице:
a(1) - это шаг назад,
b(n) - это нечетное число,
x - нечетное число для случая b(n) = 4x+1.
a(m) - последовательность чисел, привязанная к b(n).

Правило 1/3 (одна треть)
Рассмотрим формулы [math](\frac {2n} {3} - \frac 1 3)[/math] и [math](\frac {4n} {3} - \frac 1 3)[/math] с другого ракурса.
Не будем обращать внимание на [math]\frac {1} {3}[/math], как пренебрежительно малое число, и сосредоточимся только на [math]\frac {2n} {3}[/math] и [math]\frac {4n} {3}[/math]. Это ни что иное, как уменьшение/увеличение числа n на [math]\frac {1} {3}[/math]. Такое уменьшение/увеличение будем называть "правилом 1/3".

Примечание
Конечно, "правило 1/3" - это просто шаг назад в гипотезе Коллатца, и оно дано нам по условию самой задачи. Но именно такое название передает всю суть гипотезы – многократное увеличение/уменьшение числа n на 1/3, пока оно не скатится до единицы.

Вопрос. Можно ли по этой таблице спуститься к 1?
Да, можно. Это не просто таблица, это матрица спуска к единице. Спуск выглядит следующим образом:

Изображение

На рисунке выше для чисел 3, 9, 15, 21 мы изобразили только 1 переход. Это связано с тем, что эти числа особенные, они делятся на 3. В конце статьи мы расскажем про них более подробно.

Особая связь (4n + 1)
Давайте посмотрим на последовательности для 7 и 29.

Изображение

Чтобы подняться из числа 11 на шаг наверх, нам нужно решить равенство [math]3x+1=2n[/math], где n = 11.
А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для 8n:

[math]3x+1=2n , \ n = \frac {3x+1} {2}[/math]

[math]3y+1=8n , \ n = \frac {3y+1} {8}[/math]

[math]\frac {3x+1} {2} = \frac {3y+1} {8}[/math]

[math]y = 4x+1[/math]

Да, всё сходится: n = 11, x = 7, y = 29 (4x+1).
Но давайте возьмем другой пример:

Изображение

Чтобы подняться из числа 7 на два шага наверх, нам нужно решить равенство [math]3x+1=4n[/math], где n = 7.
А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для 16n:

[math]3x+1=4n , \ n = \frac {3x+1} {4}[/math]

[math]3y+1=16n , \ n = \frac {3y+1} {16}[/math]

[math]\frac {3x+1} {4} = \frac {3y+1} {16}[/math]

[math]y = 4x+1[/math]

Да, всё верно: n = 7, x = 9, y = 37 (4x+1).

Заметьте, мы специально взяли два примера, которые дают нам разный остаток от деления на три, но получили одну и ту же зависимость.
Сформулируем её так:
- Если число n связано с другим числом x по правилу 1/3, то число n также будет связано с его производным y по правилу [math]y = 4x+1[/math].
Другими словами, нечетные числа x и y спускаются к единице по той же последовательности, что и число n.

Если взять наш пример, то мы увидим:
37, 112, 56, 28… - это всего лишь производная ветка от 9, 28...
29, 88, 44, 22… - это всего лишь производная ветка от 7, 22...
Расстояние между 9 и 37 два чётных числа. Расстояние между 7 и 29 тоже два чётных числа.

Таким образом, мы установили, что для правила 4n+1 нечетные числа отделены друг от друга двумя чётными. Как нам уже известно, в правиле 1/3 расстояние между нечетными тоже не более двух чётных (2n, 4n).
Никаких других закономерностей мы не нашли. И забегая вперед, скажем, что их нет.

Всё вышесказанное означает:
- Любые два подряд идущих чётных числа в последовательности Коллатца всегда ассоциируются с каким-то конкретным нечетным числом. Т.е. чётные числа не являются самостоятельными сущностями, они лишь побочный фактор переходов между нечетными.

Из этого следует:
- Если в последовательности Коллатца встречается более двух подряд идущих чётных чисел, то их можно разложить на комбинацию нечетных. При этом спуск до единицы не изменится (см. рисунок).

Изображение

С учетом того, что никаких правил кроме 1/3 и 4n+1 в гипотезе Коллатца не существует, повторимся, это означает, что все чётные числа - это порождение формул 1/3 и 4n+1.

Таким образом, главный наш вывод:
- Мы можем убрать все чётные числа в последовательностях Коллатца, и оперировать только лишь правилами 1/3 и 4n+1.
- Любая последовательность Коллатца – это всего лишь последовательность нечетных чисел, следующих друг за другом по правилам 1/3 и 4n+1.

Лучший пример - число 27
Давайте сформируем настоящую (истинную) последовательность для 27, используя только лишь правила 1/3 и 4n+1:

27 -> 41 -> 31 -> 47 -> 71 -> 107 -> 161 -> 121 -> 91 -> 137 -> 103 -> 155 -> 233 -> 175 -> 263 -> 395 -> 593 -> 445 -> 111 -> 167 -> 251 -> 377 -> 283 -> 425 -> 319 -> 479 -> 719 -> 1079 -> 1619 -> 2429 -> 607 -> 911 -> 1367 -> 2051 -> 3077 -> 769 -> 577 -> 433 -> 325 -> 81 -> 61 -> 15 -> 23 -> 35 -> 53 -> 13 -> 3 -> 5 -> 1.

Для чисел 3077, 2429, 445, 325, 61, 53, 13, 5 - мы воспользовались правилом (4n+1), в остальных случаях 1/3.
Невероятно! Мы получили точно такую же последовательность спуска к единице, но все чётные исчезли.

Окончательный вывод
Постулат №1. Все последовательности Коллатца строятся только на связях между нечетными числами.

Постулат №2. Любое нечетное число привязано к двум другим нечетным числам на расстоянии 1/3, либо по формуле (4n+1).

Постулат №3. Нечетное число не может бесконечно возрастать на 1/3, потому что оно ограничено самим правилом 1/3. Применение правила 1/3 несколько раз подряд всегда дает разный остаток от деления на 3. Другими словами, нет такого числа, которое бы бесконечно возрастало на 1/3 по правилу 1/3.

Постулат №4. Единица, в виде известной нам последовательности A002450, разбросана на множестве натуральных чисел бесконечно много раз:

Изображение

Постулат №5. Для каждого числа соприкасающегося с A002450 происходит спуск к единице (не требует доказательства).

Вывод:
- Из-за конечности выбираемого нечетного числа и с учетом бесконечности A002450 следует, что гипотеза Коллатца верна.

Особый ряд чисел
Но, как мы и обещали, в конце статьи мы расскажем вам про особый ряд чисел.
Для чисел кратных трем существует только лишь одна связь с другим нечетным числом, и эта связь однонаправленная:

3 -> 5
9 -> 7
15 -> 23
21 -> 5 (4n+1)
27 -> 41
33 -> 25
39 -> 59
45 -> 11 (4n+1)
51 -> 77
57 -> 43
63 -> 95
69 -> 17 (4n+1)

Здесь прослеживается аналогия с чётными числами. Поэтому сделаем вывод:
- Множество натуральных чисел от 1 до N (с точки зрения гипотезы Коллатца) можно разделить на фальшивые и истинные числа. Фальшивыми мы будем называть те числа, которые имеют только одну связь с нечетным числом. Например, все чётные числа - это фальшивые, потому что они всегда приведут нас только к одному нечетному числу. Числа кратные трем тоже фальшивые, они всегда приведут нас только к одному нечетному числу. Такого рода числа не меняют сути доказательства. Спуск к единице для фальшивых чисел аналогичен спуску к единице для истинного числа. Наше доказательство учитывает все истинные числа.
Т.о. гипотеза Коллатца верна. Что и требовалось доказать.

Матрица спуска

Мы проверили матрицу спуска для чисел от 1 до 1000000000 на компьютере. Все числа гарантированно спускаются к единице по заданным в матрице правилам (1/3 и 4n+1).
Каких-либо других правил, связывающих нечетные числа, мы не обнаружили.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Гипотеза Коллатца. Доказательство
СообщениеДобавлено: 18 мар 2023, 08:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2022, 16:01
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Аннотация
Доказательство гипотезы Коллатца. Поиск различных зависимостей между натуральными числами. Построение матрицы спуска. Проверка полученных результатов на компьютере. Ключевые слова: гипотеза Коллатца, рекурсия, матрица спуска.

§1. Введение
Гипотеза Коллатца - это одна из нерешенных проблем математики. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки:
Берём любое натуральное число [math]n[/math]; Если оно чётное, разделим его на 2, а если нечетное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем [math]3n+1[/math]); Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.
Какое бы начальное число [math]n[/math] мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу, - так гласит гипотеза. И надо это доказать.

Давайте посмотрим на последовательности в гипотезе Коллатца ([math]3n+1[/math]):

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
5, 16, 8, 4, 2, 1
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

§2. Таблица нечетных чисел

Изображение

Вопрос. Можно ли по этой таблице спуститься к 1? Да, можно.
Это не просто таблица, это матрица спуска к единице.

Спуск выглядит следующим образом:

Изображение

Для спуска к единице требуется всего два правила. Это "шаг назад" и правило [math]4x + 1.[/math]

§3. Шаг назад

Шаг назад в гипотезе Коллатца выглядит следующим образом, пусть [math]n[/math] - нечетное число, тогда:
- Чтобы получить предыдущее мы должны умножить [math]n[/math]*2.
- Предположим, перед [math]2n[/math] находится нечетное число [math]x[/math]. Тогда справедливо равенство: [math]3x + 1 = 2n.[/math]
- Получаем [math]x = \frac {2n-1}{3}[/math]
- Результат [math]\frac{2n}{3} - \frac{1}{3}[/math] будет целым только в том случае, если n ≡ 2 mod(3).

Тогда для n ≡ 1 mod(3) удвоим количество четных чисел:
- Умножаем [math]n[/math] на 2, и снова на 2.
- Предположим, перед [math]4n[/math] находится нечетное число [math]x[/math]. Тогда справедливо равенство: [math]3x + 1 = 4n.[/math]
- Получаем [math]x = \frac {4n-1}{3}[/math]
- Результат [math]\frac{4n}{3} - \frac{1}{3}[/math] всегда будет целый для n ≡ 1 mod(3).

Таким образом мы установили зависимость одного нечетного числа от другого.
Эта зависимость не простая. Она рекурсивная. Каждое нечетное число цепляет другое пока выполняется условие (шаг рекурсии):

[math]n \equiv 1 \pmod 3 \quad \text{or} \quad n \equiv 2 \pmod 3 \quad \text{or} \quad n = 4x + 1.[/math]

Итак, в таблице:
[math]a(1)[/math] - это шаг назад,
[math]b(n)[/math] - это нечетное число,
[math]x[/math] - нечетное число для случая [math]b(n) = 4x+1.[/math]
[math]a(m)[/math] - последовательность чисел, привязанная к [math]b(n)[/math].

§4. Правило 1/3 (одна треть)

Рассмотрим полученные формулы с другого ракурса: [math]\frac{2n}{3} - \frac{1}{3}, \quad \frac{4n}{3} - \frac{1}{3}.[/math]
Не будем обращать внимание на [math]\frac{1}{3}[/math], как пренебрежительно малое число, и сосредоточимся только на [math]\frac{2n}{3}[/math] и [math]\frac{4n}{3}[/math]. Это ни что иное, как уменьшение/увеличение числа n на [math]\frac{1}{3}[/math]. Такое уменьшение/увеличение будем называть "правилом 1/3".

§5. Особая связь ([math]4x + 1[/math])

Давайте посмотрим на последовательности для 7 и 29:

Изображение

Чтобы подняться из числа 11 на шаг наверх, нам нужно решить равенство [math]3x+1=2n[/math], где [math]n = 11[/math].
А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для [math]8n[/math]:

[math]3x+1=2n, \; \; n= \frac {3x+1}{2}[/math]

[math]3y+1=8n, \; \; n= \frac {3y+1}{8}[/math]

[math]\frac {3x+1}{2} = \frac {3y+1}{8}[/math]

[math]y=4x+1[/math]

Да, всё сходится: [math]n = 11, \; x = 7, \; y = 29 \; (4x+1).[/math]
Но давайте возьмем другой пример:

Изображение

Чтобы подняться из числа 7 на два шага наверх, нам нужно решить равенство [math]3x+1=4n[/math], где [math]n = 7[/math].
А что если мы хотим еще выше? Давайте решим его для [math]16n[/math]:

[math]3x+1=4n, \; \; n= \frac{3x+1}{4}[/math]

[math]3y+1=16n, \; n= \frac{3y+1}{16}[/math]

[math]\frac{3x+1}{4} = \frac{3y+1}{16}[/math]

[math]y=4x+1[/math]

Да, всё верно: [math]n = 7, \; x = 9, \; y = 37 \; (4x+1).[/math]

Заметьте, мы специально взяли два примера (7 и 11), которые дают нам разный остаток от деления на три, но получили одну и ту же зависимость.
Сформулируем её так: Если число [math]n[/math] связано с другим числом [math]x[/math] по правилу 1/3, то число [math]n[/math] также будет связано с его производным [math]y[/math] по правилу [math]y=4x+1[/math].

Другими словами, нечетные числа [math]x[/math] и [math]y[/math] спускаются к единице по той же последовательности, что и число [math]n[/math].

Важно понимать, что применяя правило [math]4n+1[/math] мы заменяем одно нечетное число на другое, но спуск к единице не меняется.

Изображение

§6. Матрица спуска

Мы проверили нашу матрицу спуска для чисел от 1 до 1000000000 на компьютере.
Все числа гарантированно спускаются к единице по заданным в матрице правилам (1/3 и [math]4n+1[/math]). Каких-либо других правил, связывающих нечетные числа, мы не обнаружили.

Это означает, что мы можем убрать все чётные числа в последовательностях Коллатца, и оперировать только лишь правилами 1/3 и [math]4n+1[/math].

§7. Лучший пример - число 27

Давайте сформируем настоящую (истинную) последовательность для 27, используя только лишь правила 1/3 и [math]4n+1[/math]:

27 [math]\rightarrow[/math] 41 [math]\rightarrow[/math] 31 [math]\rightarrow[/math] 47 [math]\rightarrow[/math] 71 [math]\rightarrow[/math] 107 [math]\rightarrow[/math] 161 [math]\rightarrow[/math] 121 [math]\rightarrow[/math] 91 [math]\rightarrow[/math] 137 [math]\rightarrow[/math] 103 [math]\rightarrow[/math] 155 [math]\rightarrow[/math] 233 [math]\rightarrow[/math] 175 [math]\rightarrow[/math] 263 [math]\rightarrow[/math] 395 [math]\rightarrow[/math] 593 [math]\rightarrow[/math] 445 [math]\rightarrow[/math] 111 [math]\rightarrow[/math] 167 [math]\rightarrow[/math] 251 [math]\rightarrow[/math] 377 [math]\rightarrow[/math] 283 [math]\rightarrow[/math] 425 [math]\rightarrow[/math] 319 [math]\rightarrow[/math] 479 [math]\rightarrow[/math] 719 [math]\rightarrow[/math] 1079 [math]\rightarrow[/math] 1619 [math]\rightarrow[/math] 2429 [math]\rightarrow[/math] 607 [math]\rightarrow[/math] 911 [math]\rightarrow[/math] 1367 [math]\rightarrow[/math] 2051 [math]\rightarrow[/math] 3077 [math]\rightarrow[/math] 769 [math]\rightarrow[/math] 577 [math]\rightarrow[/math] 433 [math]\rightarrow[/math] 325 [math]\rightarrow[/math] 81 [math]\rightarrow[/math] 61 [math]\rightarrow[/math] 15 [math]\rightarrow[/math] 23 [math]\rightarrow[/math] 35 [math]\rightarrow[/math] 53 [math]\rightarrow[/math] 13 [math]\rightarrow[/math] 3 [math]\rightarrow[/math] 5 [math]\rightarrow[/math] 1.

Для чисел 3077, 2429, 445, 325, 61, 53, 13, 5 - мы воспользовались правилом [math]4n+1[/math], в остальных случаях 1/3. Мы получили точно такую же последовательность спуска к единице, но все чётные исчезли.

§8. Доказательство гипотезы Коллатца

Гипотеза выполняет действия [math]3n+1[/math] и [math]n[/math]/2, тогда обратные действия: [math]\frac {n-1}{3}[/math] и [math]n[/math]*2.
Сформулируем это так: Возьмем любое натуральное число [math]n[/math]; Отнимем из него единицу [math](n-1)[/math]; Если результат деления [math]\frac {n-1}{3}[/math] будет целый, тогда это будет следующее число; Если нет, то умножаем [math]n[/math] на 2; И вообще, всегда умножаем [math]n[/math] на 2 для порождения всё новых и новых веток.

Посмотрим на последовательности по данной схеме:

1, 2, 4, 1
1, 2, 4, 8, 16, 5
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 7, 14, 28, 9
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13, 26, 52, 17, 34, 11, 22, 44, 88, 29, 58, 19

Обратим внимание, что это обычная последовательность Коллатца, только она развернута в обратном направлении и учитывает все числа, все ветки и все ответвления. Распишем это более подробно.

Выполним преобразование для 1:
Число 1. Умножаем на 2. Получаем 2.

Выполним преобразование для 2:
Число 2. Умножаем на 2. Получаем 4.

Выполним преобразование для 4:
Число 4. [math]\frac {4-1}{3} = 1[/math].
Число 4. Умножаем на 2. Получаем 8.

Выполним преобразование для 8:
Число 8. Умножаем на 2. Получаем 16.

Выполним преобразование для 16:
Число 16. [math]\frac {16-1}{3} = 5[/math].
Число 16. Умножаем на 2. Получаем 32.

Итак, мы на пороге первой развилки! 1, 2, 4, 8, 16 - здесь у нас развилка на 5 и 32.

Зайдем на развилку 5:
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10 - здесь у нас снова развилка на 3 и 20.
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3, ...
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, ...

Вернемся к числу 32:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 - здесь у нас снова развилка на 21 и 128.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 21, ...
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...

На этом остановимся.
Далее мы рассмотрим множество следующего вида:

1
1, 2
1, 2, 4
1, 2, 4, 1
1, 2, 4, 8, 16
1, 2, 4, 8, 16, 5
1, 2, 4, 8, 16, 32
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 3
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13
...

Каждый элемент этого множества - это последовательность, образованная очередным шагом по обратной схеме.
Применим к этому множеству бесконечное умножение на 2, и продолжим каждую последовательность:

Изображение

Таким образом, мы приходим к выводу, что выбирая любое натуральное число [math]n[/math] в гипотезе Коллатца, мы на самом деле выбираем элемент из этого множества. Потому что каждое нечетное число в этом множестве - это шаг рекурсии:

[math]n \equiv 1 \pmod 3 \quad \text{or} \quad n \equiv 2 \pmod 3 \quad \text{or} \quad n = 4x + 1.[/math]

А каждое чётное число образовано от нечетного простым умножением на 2.
Таким образом, гипотеза Коллатца - это развернутая в обратном направлении рекурсия.

Для доказательства гипотезы Коллатца нам потребуется:
- Построить множество всех вариантов последовательностей Коллатца, что мы и сделали.
- Показать, как все последовательности Коллатца начинаются с единицы, что мы и сделали.
- Ответить на вопрос, есть ли числа, которые попадают в [math]3n+1[/math], но не попадают в [math]\frac {n-1}{3}[/math]?

Таких чисел нет, потому что рекурсивное правило [math]\frac {n-1}{3}[/math] это зеркальная копия [math]3n+1[/math].

[math]k=3n+1, \; \; n = \frac {k-1}{3}[/math].

Это одна и та же рекурсия, просто развернутая в разные стороны. Выполняя одни и те же действия, нельзя сойти с одного и того же пути. Если рекурсия начинается с единицы, то она всегда в неё возвращается (см. книгу С.Клини, Введение в метаматематику, [гл. IX, §46]).

Все последовательности зеркальны, идентичны и обладают одинаковыми свойствами. И мы можем это легко проверить.

§9. Шаг вперед

Пусть [math]n[/math] - нечетное число, тогда чтобы двигаться вперед по правилу [math]\frac {n-1}{3}[/math] мы должны:
- Отнять от [math]n[/math] единицу [math](n-1)[/math] и разделить на три. Но если мы отнимем от нечетного числа единицу, то мы получим чётное. Четное не делится на три.
- Тогда у нас остается только один вариант, умножить [math]n[/math]*2.
- Предположим, после [math]2n[/math] находится нечетное число [math]x[/math]. Тогда справедливо равенство: [math]\frac {2n-1}{3} = x[/math].
- Получаем [math]x = \frac {2n-1}{3}[/math]
- Результат [math]\frac {2n}{3} - \frac {1}{3}[/math] будет целым только в том случае, если n ≡ 2 mod(3).

Тогда для n ≡ 1 mod(3) удвоим количество четных чисел:
- Умножаем [math]n[/math] на 2, и снова на 2.
- Предположим, после [math]4n[/math] находится нечетное число [math]x[/math]. Тогда справедливо равенство: [math]\frac {4n-1}{3} = x[/math].
- Получаем [math]x = \frac {4n-1}{3}[/math]
- Результат [math]\frac {4n}{3} - \frac {1}{3}[/math] всегда будет целый для n ≡ 1 mod(3).

Тоже самое и с правилом [math]4n+1[/math]:

Изображение

Число 11 порождает две ветки. Зайдем в первую ветку [math]2n[/math]:

[math]\frac {2n-1}{3} = x, \; \; n = \frac {3x+1}{2}[/math]

Зайдем во вторую ветку [math]8n[/math]:

[math]\frac {8n-1}{3} = y, \; \; n = \frac {3y+1}{8}[/math]

[math]\frac {3x+1}{2} = \frac {3y+1}{8}[/math]

[math]y=4x+1[/math]

Да, всё верно: [math]n = 11, \; x = 7, \; y = 29 \; (4x+1).[/math]

Теперь мы понимаем, почему в гипотезе Коллатца можно заменить нечетное число вида [math]4n+1[/math] на его производное и спуск до единицы не изменится. Потому что это раздвоенная ветка одного и того же числа.
Обратим внимание и на цикл «1, 2, 4, 1». Он рождается в обеих схемах, что служит прекрасным доказательством тождественности правил.
Отвечая на вопрос, является ли правило [math]3n+1[/math] развернутой в обратном направлении рекурсией [math]\frac {n-1}{3}[/math] ? Мы говорим, однозначно, да.

§10. Последний вопрос

И последний вопрос, который мы обязаны задать: Есть ли такое число, которое не входит в рекурсию [math]\frac {n-1}{3}[/math] ?
Предположим, что есть. Но тогда из этого следует, что его нельзя подставить в [math]3n+1[/math]. Потому что [math]3n+1[/math] - это уже сформированная рекурсия от [math]\frac {n-1}{3}[/math].
Таким образом, мы приходим к выводу, что все числа рекурсивно связаны между собой, а правило [math]\frac {n-1}{3}[/math] перебирает бесконечное количество веток с бесконечным количеством вариантов по mod(3) и умножением на 2. И каждая такая ветка обречена спуститься к единице. Ч.т.д.

---
С уважением,
Автор статьи: Михаил Мартынов, Россия, Оренбург, программист.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Гипотеза Коллатца. 3n+1

в форуме Дискуссионные математические проблемы

magical3000

8

2893

07 янв 2015, 11:38

Гипотеза Коллатца.

в форуме Объявления участников Форума

Den1987

3

490

24 сен 2018, 00:05

Гипотеза Коллатца. 3n+1

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Martynov_M

32

7569

29 апр 2022, 16:27

Гипотеза Коллатца, часть 1

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Martynov_M

0

1265

30 мар 2023, 20:15

Гипотеза Коллатца доказазательство

в форуме Теория чисел

ammo77

0

182

23 июн 2023, 12:14

Гипотеза Коллатца, зацените решение

в форуме Дискуссионные математические проблемы

snckmykek

3

575

03 авг 2021, 01:08

Доказательство гипотезы Коллатца

в форуме Размышления по поводу и без

met

3

553

29 янв 2017, 11:57

Доказательство Гипотезы Коллатца одной прогрессией

в форуме Теория чисел

ammo77

0

110

10 ноя 2023, 20:09

Гипотеза Коллатца, почти, еще чуть-чуть

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Martynov_M

1

1222

06 июл 2022, 14:14

Расширенное видение гипотезы Коллатца

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Anosowhat

10

548

22 сен 2021, 15:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved