Структура пространства пифагоровых троек

Здравствуйте.

В молодости я увлёкся ВТФ и сразу понял, что решение нужно искать в структуре пифагоровых троек (ПТ) - следовало понять, что выделяет пары оснований их слагаемых из всех возможных пар натуральных чисел.

Я давно получил формулы членов ПТ, но наглядной картины не было.
Недавно я понял, как сопоставить каждой ПТ её образ в виде 4-клеточной квадратной числовой таблицы размером 2х2 клетки - и структура пространства ПТ сложилась в ясную картину, которая представлена на приложенном рисунке.

Оказалось, что серии ПТ ([math]a^2 + b^2 = c^2[/math]), в которых [math](c - b = 1)[/math] и [math](c - b = 2)[/math], выполняют на пространстве образов ПТ (ОПТ) роль, своего рода, координатных осей: [math](c - b = 2)[/math] - оси абсцисс, нижняя строка таблиц; [math](c - b = 1)[/math] - оси ординат, левый столбец таблиц.
Любая ОПТ на пересечении двух ОПТ из этих серий составлена строками родительских ОПТ - по одной из каждой: верхняя строка - из ОПТ-ординаты, нижняя строка - из ОПТ-абсциссы (прямой порядок).
Бледными цветами обозначены ОПТ с прямым порядком следования строк, более тёмными - с инверсным порядком.

Каковы свойства объектов типа ОПТ с определённым на их множестве правилом задания координат и операцией восстановления прообраза - я не знаю, можно ли ввести на этом множестве какие-либо операции - тоже, буду рад обсуждению.

P.S. Мне не хватило символов, поэтому пришлось взять две руны.

Забыл сказать, что красным цветом выделены ОПТ непримитивных ПТ, то есть, имеющих общий делитель.

Хотел начать новую тему "Пифагоровы тройки и процедура перемены мест слагаемых", но чтобы не умножать сущности без необходимости, решил продолжить эту.

Пифагорова тройка [math]a^2+b^2=c^2[/math] является аддитивным соотношением. Будет показано как получить 4 числа, мультипликативное соотношение которых однозначно определяет пифагорову тройку.

Воспользуемся общеизвестным представлением пифагоровых троек

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a=m^2-n^2 \\
& b=2mn \\
& c=m^2+n^2
\end{aligned}\right.[/math] и вычислим величины [math]\left\{\!\begin{aligned}
& ut=c-a=2n^2=2n \cdot n \\
& v \tau =c-b=(m-n)^2=(m-n) \cdot (m-n) \\
& vt=a+b-c=2n \cdot (m-n)
\end{aligned}\right.[/math]

Непосредственно видно, что

НОД [math](c-a,\ a+b-c)=2n[/math]
НОД [math](c-b,\ a+b-c)=m-n[/math]

Величины [math]v,\ t,\ u,\ \tau[/math] можно обозначить двумя способами, это даст одинаковый результат

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& v=m-n \\
& \tau =m-n \\
& u=n \\
& t=2n
\end{aligned}\right.[/math] или [math]\left\{\!\begin{aligned}
& v=2(m-n) \\
& \tau =m-n \\
& u=n \\
& t=n
\end{aligned}\right.[/math]

Тогда исходные величины [math]a,\ b,\ c[/math] примут вид

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a=v \tau +vt \\
& b=vt+ut \\
& c=v \tau +vt+ut
\end{aligned}\right.[/math]

Подставив их в уравнение пифагоровой тройки [math]a^2+b^2=c^2[/math] и решив его мы получим мультипликативное условие существования пифагоровой тройки

[math]vt=2u \tau[/math]

Обозначения выбраны не случайно - они имеют физический смысл: [math]v[/math] и [math]u[/math] означают дискретные скорости, а [math]\tau[/math] и [math]t[/math] - дискретные времена.
Чтобы это увидеть, нужно нужно обратиться к двум фактам:

1. [math]k^2[/math] это не только значение площади квадрата со стороной [math]k[/math] , но и площадь прямоугольного треугольника со сторонами [math]k[/math] и [math]2k[/math] .
2. Квадрат натурального числа является суммой ряда нечетных чисел: [math]k^2=\sum\limits_{1}^{k}(2k-1)[/math]

Геометрически это означает, что дискретный прямоугольный треугольник составленный из прямоугольников с основаниями длины [math]1[/math] и высотами равными последовательным нечетным числам начиная с [math]1[/math] при длине основания равной [math]k[/math] будет иметь площадь равную [math]k^2[/math] .
Интересным свойством этого треугольника является то, что длина его ступенчатой диагонали равна сумме длин его катетов. Этим же свойством обладает любая ступенчатая линия соединяющая противоположные концы катетов.

Вот пример дискретного прямоугольного треугольника с основанием длиной [math]c=13[/math] на который наложены два меньших треугольника - желтый с основанием длиной [math]a=5[/math] и синий с основанием длиной [math]b=12[/math] (их пересечение образует зеленый треугольник с основанием [math]a+b-c=4[/math] и площадью такой же как у незакрашенной части). Таким образом, площади этих треугольников образуют примитивную пифагорову тройку [math]5^2+12^2=13^2[/math] .



Обратим внимание на отрезки которыми составлено основание большого треугольника [math]c[/math] . На первом рисунке они расположены в порядке [math](c-b)+(a+b-c)+(c-a)=c[/math] , а на втором - в обратном ему [math](c-a)+(a+b-c)+(c-b)=c[/math] .

Поставим вопрос - можно ли передвигая эти отрезки конечное число тактов изменить порядок их следования с первого на второй?

Ответ дает полученное нами представление: отрезок длиной [math]a+b-c=vt[/math] проходит со скоростью [math]u[/math] расстояние [math]c-a=ut[/math] за те же [math]t[/math] тактов за которые отрезок [math]c-b=v \tau[/math] проходит расстояние [math]a+b-c=vt[/math] .

В приведенном примере

[math]ut=c-a=8[/math]

[math]v \tau =c-b=1[/math]

[math]vt=a+b-c=4[/math]

[math]t=[/math] НОД [math](ut,\ vt)=4[/math]

[math]v=[/math] НОД [math](v \tau,\ vt)=1[/math]

[math]u=t \slash 2=2[/math]

[math]\tau =v=1[/math]

Как видим, полученное мультипликативное соотношение [math]vt=2u \tau[/math] выполняется. По сути, оно определяет процедуру перемены мест слагаемых в пифагоровой тройке и означает следующее:

может существовать только такая пифагорова тройка в которой за время [math]t\in N[/math] может быть выполнена процедура перестановки слагаемых.

Позже я покажу как построить прямоугольную дискретную пирамиду объем которой равен [math]k^3[/math] , а площадь ее наклонной грани равна сумме площадей трех граней при прямом угле.
По аналогии с описанным выше прямоугольным дискретным треугольником, при трех острых вершинах подобной пирамиды можно отсечь три меньших пирамиды объемы которых также будут равны кубам и выполнят условие задачи о четырех кубах

[math]a^3+b^3+c^3=d^3[/math]

Однако условие существования кубической четверки, подобное условию существования пифагоровой тройки, еще предстоит найти.

Упустил главное: дискретное время выполнения процедуры перемены мест слагаемых пифагоровой тройки строго [math]t > 1[/math] .

Насколько я помню, алоритм построения четвёрки [math]3^3+4^3+5^3=6^3[/math] единственный для неё же, и категорически не работает для других четвёрок, кроме полностью пропорциональных первой.

Возможно по этой причине, (и не только по ней), полной общей параметризации всех четвёрок для натуральных чисел, пока нет.

А что означает это "мультипликативное условие"? Вы его получили из существующей тройки, поэтому не оно определяет существование, а наоборот.
Эта четвёрка уникальна для каждой пифагоровой тройки? Или только для примитивных?

Это, кстати, неверно.

Почему?

НОД [math]((2n \cdot n, 2n \cdot (m-n))=2n[/math]

НОД [math]((m-n) \cdot (m-n), 2n \cdot (m-n))=m−n[/math]

Что не так?

Это означает, что входящие в него величины не складываются, а только перемножаются.


Нет. Я получил его из общеизвестного представления любой пифагоровой тройки, поэтому оно определяет существование любой пифагоровой тройки.
Но набор значений 4 величин однозначно определяет свою пифагорову тройку, которая может быть вычислена по нему. Там ведь указано как это сделать.


Эта четверка уникальна для любой пифагоровой тройки, но для непримитивных троек их набор, как и они сами, имеет общий множитель.

Поэтому нужно исследовать не алгоритм построения отдельной кубической четверки, а коллективное поведение троек кубических слагаемых на кубической пирамиде (имеющей объем равный кубу ее основания) их суммы - по аналогии с квадратными слагаемыми пифагоровой тройки на квадратном треугольнике (имеющем площадь равную квадрату его основания) их суммы.

Пусть [math]m=5, n=3[/math].
Отсюда [math]a=16, b= 30,c=34[/math]
[math]\gcd( c-b , a+b-c ) = \gcd( 4 , 12 ) =4 \ne m-n[/math]