Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 33 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
||
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Martynov_M |
|
|
Берём любое натуральное число n. Далее, если оно чётное, разделим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n+1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее. Например, 5 –> 3*5+1=16 –> 16/2=8 –> 8/2=4 –> 4/2=2 –> 2/2=1. Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу. Надо это доказать. Но никто доказать не может. Гипотеза Коллатца - одна из нерешенных задач математики. На протяжении 100 лет она не поддается решению. Давайте посмотрим на последовательность чисел в гипотезе Коллатца: 3,10,5,16,8,4,2,1 5,16,8,4,2,1 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 21,64,32,16,8,4,2,1 23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 25,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 Доказательство. Гипотеза является своего рода аксиомой натуральных чисел и её следует воспринимать не как гипотезу, а как саму суть натуральных чисел. Из гипотезы следует, что в обратном порядке (по схеме Коллатца) все натуральные числа могут быть получены из единицы до любого n. Обратная схема Коллатца выглядит следующим образом: 1. Если для числа n предшествующее ему число (n-1) делится на 3, тогда делим предшествующее на 3, заносим результат в таблицу, затем умножаем на 2 и снова заносим результат в таблицу; также заносим в таблицу n*2. 2. Если для числа n предшествующее не делится на 3, тогда умножаем на 2 и заносим результат в таблицу. И так далее для каждого числа из таблицы. Аксиома Коллатца: "Начиная с единицы, выполнение всех этих действий породит (создаст, покроет, охватит) все натуральные числа в природе". Проверим. Выполним преобразование для 1. Число 1. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 1*2 = 2. Выполним преобразование для 2. Число 2. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 2*2 = 4. Выполним преобразование для 4. Число 4. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (4-1)/3 = 1. Умножаем 1 на 2 = 2. Умножаем 4*2 = 8. Итак, мы получили числа 1,2,4,8. Выполним преобразование для 8. Число 8. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 8*2 = 16. Итак, мы получили числа 1,2,4,8,16. Выполним преобразование для 16. Число 16. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (16-1)/3 = 5. Умножаем 5 на 2 = 10. Умножаем 16*2 = 32. Итак, мы получили числа 1,2,4,8,16,5,10,32. (!) Сразу обратим внимание, что ряд 1,2,4,8,16,5,10 и ряд 1,2,4,8,16,32 - это не что иное, как обратный ряд 10,5,16,8,4,2,1 и 32,16,8,4,2,1 - которыми всегда заканчивается гипотеза Коллатца. А мы наоборот только начали с них. Идем дальше. Выполним преобразование для 5. Число 5. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 5*2 = 10. Выполним преобразование для 10. Число 10. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (10-1)/3 = 3. Умножаем 3 на 2 = 6. Умножаем 10*2 = 20. Выполним преобразование для 3. Число 3. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 3*2 = 6. Выполним преобразование для 6. Число 6. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 6*2 = 12. Выполним преобразование для 12. Число 12. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 12*2 = 24. Выполним преобразование для 20. Число 20. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 20*2 = 40. Выполним преобразование для 32. Число 32. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 32*2 = 64. Выполним преобразование для 40. Число 40. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (40-1)/3 = 13. Умножаем 13 на 2 = 26. Умножаем 40*2 = 80. Выполним преобразование для 13. Число 13. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (13-1)/3 = 4. Умножаем 4 на 2 = 8. Умножаем 13*2 = 26. Выполним преобразование для 26. Число 26. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 26*2 = 52. Выполним преобразование для 52. Число 52. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (52-1)/3 = 17. Умножаем 17 на 2 = 34. Умножаем 52*2 = 104. Выполним преобразование для 34. Число 34. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (34-1)/3 = 11. Умножаем 11 на 2 = 22. Умножаем 34*2 = 68. Выполним преобразование для 22. Число 22. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (22-1)/3 = 7. Умножаем 7 на 2 = 14. Умножаем 22*2 = 44. Выполним преобразование для 14. Число 14. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 14*2 = 28. Выполним преобразование для 28. Число 28. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (28-1)/3 = 9. Умножаем 9 на 2 = 18. Умножаем 28*2 = 56. Выполним преобразование для 64. Число 64. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (64-1)/3 = 21. Умножаем 21 на 2 = 42. Умножаем 64*2 = 128. Выполним преобразование для 80. Число 80. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 80*2 = 160. Выполним преобразование для 160. Число 160. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (160-1)/3 = 53. Умножаем 53 на 2 = 106. Умножаем 160*2 = 320. Выполним преобразование для 106. Число 106. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (106-1)/3 = 35. Умножаем 35 на 2 = 70. Умножаем 106*2 = 212. Выполним преобразование для 70. Число 70. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (70-1)/3 = 23. Умножаем 23 на 2 = 46. Умножаем 70*2 = 140. Выполним преобразование для 23. Число 23. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 23*2 = 46. Выполним преобразование для 46. Число 46. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (46-1)/3 = 15. Умножаем 15 на 2 = 30. Умножаем 46*2 = 92. Выполним преобразование для 44. Число 44. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 44*2 = 88. Выполним преобразование для 88. Число 88. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (88-1)/3 = 29. Умножаем 29 на 2 = 58. Умножаем 88*2 = 176. Выполним преобразование для 58. Число 58. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (58-1)/3 = 19. Умножаем 19 на 2 = 38. Умножаем 58*2 = 116. Выполним преобразование для 38. Число 38. Предшествующее ему не делится на 3. Умножаем 38*2 = 76. Выполним преобразование для 76. Число 76. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (76-1)/3 = 25. Умножаем 25 на 2 = 50. Умножаем 76*2 = 152. ---------------------------------------------- Остановимся. Итак, из единицы мы получили следующие числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25... (и другие). Давайте снова посмотрим на последовательности в гипотезе Коллатца: 3,10,5,16,8,4,2,1 5,16,8,4,2,1 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 21,64,32,16,8,4,2,1 23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1 25,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 Но мы получили точно такие же цифры, двигаясь в обратном направлении с 1 до n! Становится ясно, что применяя формулу Коллатца к единице, мы получим бесконечный ряд чисел от 1 и далее. Введем новую аксиому Коллатца: "Путем преобразования, начиная с единицы по обратной схеме Коллатца, мы получим всю плоскость натуральных чисел от 1 до бесконечности". Обратную схему Коллатца назовем формулой Коллатца. Доказательство. Возьмем множество всех нечётных чисел и разделим его на два подмножества. Множество №1 - все нечётные числа, которые делятся на 3. Пример: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87 ... Множество №2 - остальные нечётные числа. Пример: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47 ... Будем иметь ввиду, что числа 1 и 2 не участвуют в выборке, т.к. это базовые числа, с которых начинается формула Коллатца. Нам не нужно доказывать существование 1 и 2. Далее разделим множество всех чётных чисел тоже на два подмножества. Множество №3 - все чётные числа, где предшествующее делится на 3. Пример: 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82, 88 ... Множество №4 - остальные чётные числа. Пример: 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 26, 30, 32, 36, 38, 42, 44, 48 ... Итак, мы получили 4 непересекающихся множества, которые образуют всю плоскость натуральных чисел. При этом множество №2 образовано делением множества №1 на 3 (3n). Множество №3 - это множество №1 со сдвигом на единицу (n-1). Множество №4 - это тоже множество со сдвигом на единицу (n+1), но уже от родительского множества №2. Множества №3 и №4 также связаны между собой чередованием степеней двоек. Всё это очень важно для нас для перехода из одного множества в другое. Множество №3: ... 4 ... 16 ... 64 ... 256 ... 1024 ... Множество №4: ... 8 ... 32 ... 128 ... 512 ... 2048 ... Итак, подытожим. Мы видим, что все множества связаны между собой операциями по формуле Коллатца. Другими словами все наши множества и есть порождение формулы Коллатца. При этом они образуют всю плоскость натуральных чисел в природе. Важно понимать, что выбирая любое число из любого множества, мы (по рекурсии) цепляем сразу все множества и все числа. Т.е. любое число в формуле Коллатца цепляет сразу всю плоскость натуральных чисел всех множеств. Это происходит из-за перекрестных связей. Начиная с одного множества, мы прыгаем, скачем по другим, и так далее по кругу. Теперь становится очевидным, что мы можем двигаться по формуле Коллатца как вперед, так и назад. Мы можем двигаться как от 1 до n, так и от n до 1. Таким образом, гипотезу Коллатца следует воспринимать как часть более общей аксиомы Коллатца. Эта аксиома не нуждается в доказательстве, потому что и так очевидно, что формула Коллатца перебирает все натуральные числа в природе. --- Автор статьи: Михаил Мартынов, Россия, Оренбург, программист. |
||
Вернуться к началу | ||
Martynov_M |
|
|
Я написал программу для проверки аксиомы Коллатца и получил числа от 1 до 1000. Далее проверять не стал из-за возрастания рекурсии и низкой мощности компьютера.
|
||
Вернуться к началу | ||
Martynov_M |
|
|
Исходный код программы для проверки аксиомы Коллатца. Язык программирования Delphi, 1C, С++, С# - на ваш выбор.
// --- Начало модуля --- // Раздел объявления переменных. ГлобальныеПеременные: N, Таблица, СписокЧиселОт1ДоN; //******************************************* Процедура Выполнить() N = 1000; Счетчик = 1; СписокЧиселОт1ДоN = СоздатьОбъект("Список"); Для Счетчик = 1 По N Цикл СписокЧиселОт1ДоN.Добавить(Счетчик); КонецЦикла; Таблица = СоздатьОбъект("Таблица"); Таблица.НоваяКолонка("Число", ТипЧисло, ДлинаДробнойЧасти = 0); Таблица.НоваяКолонка("ПреобразованиеВыполнено", ТипБулево); // Добавим стартовое значение (единицу) и начнем. Таблица.Добавить(); Таблица.Число = 1; Таблица.ПреобразованиеВыполнено = Ложь; ПолучитьПоследовательностьКоллатцаОт1ДоN(); КонецПроцедуры //******************************************* Процедура ПолучитьПоследовательностьКоллатцаОт1ДоN() НомерИтерации = 0; ПроверяемоеЧисло = 0; КоличествоПроверяемыхЧисел = СписокЧиселОт1ДоN.РазмерСписка(); Пока КоличествоПроверяемыхЧисел > 0 Цикл НомерИтерации = НомерИтерации + 1; // Таблицу с числами нужно сортировать после каждого отката на 3, // но мы будем это делать на каждой итерации (так для нас проще). Таблица.СортироватьПоКолонке("Число"); // Попытаемся найти наименьшее число в таблице, для которого еще не выполнено преобразование. // Делаем перебор. Счетчик = 0; НеобходимоПродолжатьИскать = Истина; КоличествоСтрок = Таблица.КоличествоСтрок(); Пока Счетчик <= КоличествоСтрок И НеобходимоПродолжатьИскать Цикл Счетчик = Счетчик + 1; Таблица.ПолучитьСтрокуПоНомеру(Счетчик); Если Таблица[Счетчик].ПреобразованиеВыполнено = Ложь Тогда Таблица[Счетчик].ПреобразованиеВыполнено = Истина; ПроверяемоеЧисло = Таблица[Счетчик].Число; НеобходимоПродолжатьИскать = Ложь; КонецЕсли; КонецЦикла; ПроверитьСписокЧиселОт1ДоN(ПроверяемоеЧисло); КоличествоПроверяемыхЧисел = СписокЧиселОт1ДоN.РазмерСписка(); ОкноИнформации("Итерация № "+НомерИтерации+", осталось проверить: "+КоличествоПроверяемыхЧисел+" / "+N+". Проверяемое число: "+ПроверяемоеЧисло); ПрименитьПреобразованиеКоллатцаКЧислу(ПроверяемоеЧисло); КонецЦикла; КонецПроцедуры //******************************************* Процедура ПрименитьПреобразованиеКоллатцаКЧислу(ТекущееЧисло) ПредшествующееЧисло = ТекущееЧисло - 1; Если ПредшествующееЧисло % 3 = 0 Тогда ПервоеЧисло = ПредшествующееЧисло / 3; ВтороеЧисло = ПервоеЧисло * 2; ТретьеЧисло = ТекущееЧисло * 2; ДобавитьНовоеЗначениеВТаблицу(ПервоеЧисло); ДобавитьНовоеЗначениеВТаблицу(ВтороеЧисло); ДобавитьНовоеЗначениеВТаблицу(ТретьеЧисло); Иначе ДобавитьНовоеЗначениеВТаблицу(ТекущееЧисло * 2); КонецЕсли; КонецПроцедуры //******************************************* Процедура ДобавитьНовоеЗначениеВТаблицу(ДобавляемоеЧисло) // Заносим в таблицу только уникальные новые числа (без дублей). Если Таблица.Найти(ДобавляемоеЧисло) = Ложь Тогда Таблица.Добавить(); Таблица.Число = ДобавляемоеЧисло; Таблица.ПреобразованиеВыполнено = Ложь; КонецЕсли; КонецПроцедуры //******************************************* Процедура ПроверитьСписокЧиселОт1ДоN(ПроверяемоеЧисло) // Если проверяемое число уже присутствует в нашем списке От1ДоN, то вычеркиваем его. // Таким образом, когда список уменьшится до 0, это будет условие остановки рекурсии, потому что // это будет означать, что все числа от 1 до N уже получены по формуле Коллатца. НайденнаяПозиция = СписокЧиселОт1ДоN.НайтиПозицию(ПроверяемоеЧисло); Если НайденнаяПозиция = 0 Тогда // Всё ok. Иначе СписокЧиселОт1ДоN.УдалитьЭлемент(НайденнаяПозиция); КонецЕсли; КонецПроцедуры // --- Конец модуля --- |
||
Вернуться к началу | ||
Individ1 |
|
|
Думаю ответ в том сколько раз умножается на 3 с единичкой и сколько раз делиться на 2....
Например до 100 чисел можно посчитать... само число операций... сколько раз разделилось и сколько раз умножилось? Я думаю считать до тех пор пока не придём к предыдущему числу.... можно и до 1000 считать... Думаю эта величина и даст ответ почему... |
||
Вернуться к началу | ||
ammo77 |
|
|
Зачем столько расчетов ,у гипотезы есть формула порядка и количества итерации для каждого
числа . Пример фрагмента формулы для одного из k где числа упорядоченный по возрастанию итерации +2 бесконечно . Общую формулу для всех k уже изучена и составлена . {245956587649460688213/73, 983826350597842752853/75, 3935305402391371011413/77, 15741221609565484045653/79, 62964886438261936182613/81, 251859545753047744730453/83, 1007438183012190978921813/85, 4029752732048763915687253/87, 16119010928195055662749013/89, 64476043712780222650996053/91, 257904174851120890603984213/93, 1031616699404483562415936853/95, 4126466797617934249663747413/97, 16505867190471736998654989653/99, 66023468761886947994619958613/101, 264093875047547791978479834453/103, 1056375500190191167913919337813/105, 4225502000760764671655677351253/107, 16902008003043058686622709405013/109, 67608032012172234746490837620053/111, |
||
Вернуться к началу | ||
Martynov_M |
|
|
Коллеги, мы обсуждаем аксиому Коллатца. Не гипотезу, а именно аксиому.
Акцентирую внимание, что предлагаю научному сообществу ввести в математическую среду именно аксиому Коллатца. Я утверждаю, что из единицы по формуле Коллатца рождается вся плоскость натуральных чисел от 1 до n и до бесконечности. Если вы со мной согласны, тогда гипотеза Коллатца не требует никакого математического доказательства, т.к. это всего лишь частный случай аксиомы Коллатца. Почему я избрал такой подход? Потому что на протяжении 100 лет никто не может доказать гипотезу Коллатца. Именно доказать! Показать шаги, итерации, переборы, последовательности - может каждый. Но доказать нет. |
||
Вернуться к началу | ||
ammo77 |
|
|
Частный случай это когда разлагаем общую формулу ,
общая формула доказывает что итерации до 1 присуща всем числам и количество итерации могут быт сколь угодно большим т.е стремится к бесконечности . Если мы все это доказываем наличием формулы то чем лучше ваша аксиома? Вот это частный случай но не общая формула. Общая формула содержит все существующие бесконечные k частные случай(последовательности ) где нет пропуска и повтора чисел. n | 1 | 1 2 | 5 итерации 5 3 | 21 -----------7 4 | 85------------9 5 | 341-----------11 6 | 1365----------и т.д 7 | 5461 8 | 21845 9 | 87381 10 | 349525 |
||
Вернуться к началу | ||
Martynov_M |
|
|
Ammo77, со всем уважением, но вы говорите о закономерности. Я говорю о причине этой закономерности. Я говорю о доказательстве, почему происходит именно так, и не иначе.
|
||
Вернуться к началу | ||
ammo77 |
|
|
Martynov_M писал(а): Ammo77, со всем уважением, но вы говорите о закономерности. Я говорю о причине этой закономерности. Я говорю о доказательстве, почему происходит именно так, и не иначе. Вы даже не упомянули значения функции Эйлера и модулярную арифметику для гипотезы 3n+1., а значит не можете видеть общую систему распределения . |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Martynov_M писал(а): Я утверждаю, что из единицы по формуле Коллатца рождается вся плоскость натуральных чисел от 1 до n и до бесконечности. Почему плоскость? Ряд натуральных чисел Вы имеете в виду? Насколько помню, в этом ряду существуют всего три вида чисел по модулю 3: [math]3k-2[/math], [math]3k-1[/math], [math]3k[/math]. Причём, в каждом есть как чётные, так и нечётные числа. Рассмотрим алгоритм Коллатца. Либо чётное число будем делить на 2 до тех пор, пока оно станет нечётным, либо имеем сразу нечётное число. Таким образом, всё сводится к старту с нечётного числа. Любое нечётное число по модулю 2 выражается как [math]2n-1[/math], тогда по алгоритму Коллатца: шаг 1: [math]3(2n-1)+1=6n-2 \equiv 0[/math]mod(2), т.е. чётное число; шаг 2: [math](6n-2) \,\colon 2=3n-1[/math] может быть как чётным, так и нечётным. Если полученное число нечётное, то возвращаемся к шагу 1, если чётное - делим на 2 до тех пор, пока число станет нечётным и также возвращаемся к шагу 1. Таким образом, шаг 1 генерирует нечётные числа только одного вида [math]3k-1[/math]. Нечётные числа остальных двух видов могут быть сгенерированы только шагом 2. Поскольку натуральные числа в ряду распределены равномерно, то шаг 2 выполняется чаще, что неизбежно ведёт к редуцированию до минимального нечётного натурального числа [math]1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 33 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Гипотеза Коллатца.
в форуме Объявления участников Форума |
3 |
490 |
24 сен 2018, 00:05 |
|
Гипотеза Коллатца. 3n+1 | 8 |
2893 |
07 янв 2015, 11:38 |
|
Гипотеза Коллатца доказазательство
в форуме Теория чисел |
0 |
182 |
23 июн 2023, 12:14 |
|
Гипотеза Коллатца, часть 1 | 0 |
1266 |
30 мар 2023, 20:15 |
|
Гипотеза Коллатца (доказательство) | 1 |
1292 |
17 фев 2023, 10:00 |
|
Гипотеза Коллатца, зацените решение | 3 |
575 |
03 авг 2021, 01:08 |
|
Гипотеза Коллатца, почти, еще чуть-чуть | 1 |
1222 |
06 июл 2022, 14:14 |
|
Доказательство гипотезы Коллатца
в форуме Размышления по поводу и без |
3 |
553 |
29 янв 2017, 11:57 |
|
Расширенное видение гипотезы Коллатца | 10 |
548 |
22 сен 2021, 15:00 |
|
Доказательство Гипотезы Коллатца одной прогрессией
в форуме Теория чисел |
0 |
110 |
10 ноя 2023, 20:09 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: jsrules и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |