Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 11:50 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Навеяно одной темой, в которой участвовал…
Дана ось вращения x, в плоскости которой находится ломаная, состоящая из двух отрезков. Известны начало, конец и длина ломаной.
Необходимо найти P - точку перелома ломаной, такую, чтобы площадь поверхности, образованная при вращении ломаной вокруг x, была наибольшей.
Любители черчения могут построить P с помощью циркуля и линейки.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Glotov1
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 12:37 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде бы нужно просто построить равнобедренный треугольник с суммой боковых сторон, равных длине ломаной. Ломаная должня авляться боковыми сторонами равнобедренного треугольника.
Но как доказать пока не знаю.

Исходил из формулы: Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой.
Построил эллипс с фокусами в концах ломаной: наибольшее удаление центра тяжести ломаной от оси получается в случае, если треугольник равнобедренный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 12:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1, если начальные и конечные точки ломаной находятся на разных расстояниях от оси вращения, то не должен получиться равнобедренный треугольник.
Как Вы определяли центр тяжести ломаной?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 12:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А разве наибольшая площадь не получится, когда отрезок просто вертикально стоит, без всяких изломов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 12:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM, по условию заданы начало и конец ломаной. На рисунке это чёрные точки P0 и P1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 13:14 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Glotov1, если начальные и конечные точки ломаной находятся на разных расстояниях от оси вращения, то не должен получиться равнобедренный треугольник.
Как Вы определяли центр тяжести ломаной?



Определял как положено: цент тяжести двухзвенной ломаной находится на прямой, соединяющей центры тяжести двух звеньев и на расстоянии от них находящихся в обратной пропорциональности от их масс (длин отрезков).
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Glotov1 "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 13:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1, правильно определили ЦТ.
Например, центр тяжести ломаной найти можно и так: через середину отрезка, соединяющего начало с концом проводим прямую, параллельную биссектрисе ломаной. Центр тяжести находится на пересечении этой прямой и средней линии ломаной.
Но равнозвенная ломаная не является оптимальной. Попробуйте поперемещать P по эллипсу ещё раз, наблюдая за удалением ЦТ от оси.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 13:57 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
Glotov1, правильно определили ЦТ.
Например, центр тяжести ломаной найти можно и так: через середину отрезка, соединяющего начало с концом проводим прямую, параллельную биссектрисе ломаной. Центр тяжести находится на пересечении этой прямой и средней линии ломаной.
Но равнозвенная ломаная не является оптимальной. Попробуйте поперемещать P по эллипсу ещё раз, наблюдая за удалением ЦТ от оси.


Li6-D, со второй попытки у меня получилось выявить, что искомая точка перелома находится на перпендикуляре от оси вращения, проходящем через середину отрезка, соединяющего концы ломаной ( в первый раз не до конца провел "пробы". т.к. никакой автоматики в распоряжнении нет, приходится проверять всё практически вручную).
Как доказать пока не знаю, хотелось бы найти доказательство без применения интегрального исчисления.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 14:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1, теперь правильно определили.
Звенья искомой ломаной дают равные проекции на ось. С учётом этого, точку P легко построить.
Несмотря на простоту формулировки, над её доказательством ещё надо потрудиться. Мне пока неизвестно простое, "школьное" доказательство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Максимум площади поверхности вращения ломаной
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 14:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
MihailM, по условию заданы начало и конец ломаной. На рисунке это чёрные точки P0 и P1.

Тогда другое дело!
Хорошая задача, можно обобщать на трех- и так далее звенные ломаные.
Как я понимаю, если это веревка, то наибольшую площадь будет если это цепная линия.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Li6-D
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычисление площади поверхности тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

Andrey82

8

264

10 сен 2020, 19:06

Поверхности вращения

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

hranitel6

1

398

04 май 2014, 18:34

Площадь поверхности вращения

в форуме Интегральное исчисление

Enosha

8

497

09 июн 2014, 10:13

Площадь поверхности вращения

в форуме Интегральное исчисление

Sparkey00

1

228

09 май 2016, 18:06

Уравнение поверхности вращения

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

apdodog

1

1182

29 янв 2015, 08:20

Площадь поверхности вращения

в форуме Интегральное исчисление

evaf

7

197

02 окт 2020, 07:31

Площадь поверхности вращения

в форуме Интегральное исчисление

kollonelo

15

645

31 май 2014, 16:21

Площадь поверхности вращения

в форуме Интегральное исчисление

null

0

246

05 окт 2015, 19:04

Расчет площади поверхности

в форуме Интегральное исчисление

gessaa

7

417

03 янв 2017, 19:06

Вычислить площадь поверхности вращения

в форуме Интегральное исчисление

kristin++

1

174

03 апр 2020, 13:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved