Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 31 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Nikolay Moskvitin |
|
|
Введение. Задача, которую автор собирается здесь исследовать, в несколько изменённом виде была дана в книге известного польского математика Г.Штейнгауза "Задачи и размышления" в задаче 11: "Можно ли построить квадрат с целочисленными сторонами и указать в его плоскости такую точку, чтобы расстояния от этой точки до всех 4 вершин квадрата выражались целыми числами?" Позднее задача была переформулирована и поставлена так: "Существует ли внутри единичного квадрата точка, все расстояния от которой до его вершин рациональны?" В числе работ, составивших не теоретическую основу, а научный аппарат--работы Лузина и Нестеренко (Лузин, Н.Н. Дифференциальное исчисление. М,1958. Глава 1; Нестеренко, Ю.В. Теория чисел. М, 2008, глава 6). Параграф 1. Определения. Примем следующие определения: точки Штейнгауза-точки, которые могут являться решением задачи, указанной во введении. Окружности типа w-окружности, обладающие следующими тремя свойствами: 1) Они проходят чере две вершины квадрата. 2)Они пересекают три стороны квадрата, каждую в двух точках, либо две из трёх-только в одной. 3)Синус угла, вершина которого расположена на любой из этих окружностей, под которым видна сторона квадрата, через две вершины которой проходит окружность, рационален. 1) Если [math]E[/math]--произвольная точка внутри квадрата, то опишем около треугольника [math]CED[/math] окружность, которая пересечёт луч [math]AG[/math] и сторону [math]AD[/math] в точках [math]K[/math] и [math]M[/math] соответственно. Назовём это построение построением 1. 2) Назовём последовательность окружностей, получаемых некоторым количеством построений из окружности типа [math]w[/math], последовательностью окружностей, индуцированную построением 1, или [math]G(w)[/math]. Параграф 2. Доказательство рациональности расстояний от точки Штейнгауза до сторон квадрата в том случае, если хотя бы одна такая точка существует. Согласно теореме синусов и одной из формул приведения, [math]\frac{1}{\sin{AED}}=\frac{AE}{\sin{ADE}}=\frac{1}{\cos{EDC}}.[/math] Но [math]\cos{EDC}[/math] в силу теоремы косинусов рационален (из треугольника [math]CED[/math]). Поэтому [math]\sin{AED}[/math]- также величина рациональная. Из этого несложно вывести утверждение главы. Кроме того, получился следующий критерий: чтобы существовала точка Штейнгауза, необходимо, чтобы синусы всех углов, образуемых точкой Штейнгауза и лучами, соединяющими её с вершинами квадрата, были рациональными. |
||
Вернуться к началу | ||
Nikolay Moskvitin |
|
|
Параграф 3. Исследование построения 1.
Если [math]AG[/math], [math]DG[/math]и [math]CG[/math]одновременно рациональны (случай 1), то[math]\sin{CGD}[/math] и [math]\cos{CGD}[/math]-тоже рациональные величины. Доказывается это можно и так: [math]\cos{ADG}[/math]- рациональная величина. Опустим из точки [math]G[/math] перпендикуляры [math]GN[/math]и [math]GP[/math]на стороны [math]AD[/math]и [math]CD[/math]соответственно. Тогда [math]ND=GP[/math]-- величина рациональная, значит, площадь треугольника CGD рациональна, значит, величина [math](CG)(DG)(\sin{CGD})[/math] рациональна, значит, [math]\sin{CGD}[/math] рационален. Применим к треугольнику [math]CGD[/math] построение 1. В обозначениях параграфа 1: так как углы [math]CGD[/math]и [math]CMD[/math]равны, [math]MD=1*tg{CGD}[/math], поэтому [math]MD[/math]- рациональная величина, значит, и [math]AM[/math]--рациональная величина. Тогда [math](AK)(AG)=(AM)(AD)[/math] по теореме о произведении секущей на внешнюю часть , поэтому [math]AK[/math]-рациональная величина. Опустим из точки [math]K[/math]перпендикуляры [math]KL[/math]и [math]KT[/math]на стороны [math]AD[/math]и [math]CD[/math]соответственно. Используя метод с площадью, введённый вначале, нетрудно теперь доказать, что [math]\sin{AKD}[/math] должен быть рациональным, как и [math]KD[/math]. Аналогично должно быть рационально расстояние [math]CK[/math]. Про [math]BK[/math] пока непонятно. В следующих двух параграфах проведём доказательства для частных случаев. Заметим пока, что если [math]BG[/math]--иррационален, из этого легко следует, что [math]KD[/math]--также иррационален. То есть,все точки типа [math]K[/math]не являются точками Штейнгауза, если ей не является точка [math]G[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Nikolay Moskvitin |
|
|
Параграф 4. Доказательство для частного случая через скалярное произведение.
Докажем, что на дуге окружности единичного радиуса с центром в вершине единичного квадрата, заключённой между его сторонами нет точек Штейнгауза. По правилу треугольника, [math]\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EB}[/math] и [math]\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{ED}[/math]. Перемножаем эти равенства и полуается формула [math]EA^2+EA*AD*\cos{d}+EA*AB*sin{d}=BE*ED*\frac{\sqrt{2}}{2}[/math], где угол [math]d[/math]соответствует углу [math]EAD[/math]. Отсюда легко следует, что или [math]BE[/math], или [math]DE[/math]иррационально, и поэтому точек Штейнгауза на такой дуге нет. |
||
Вернуться к началу | ||
Nikolay Moskvitin |
|
|
Были ещё мысли, но сегодня у меня уже не хватит сил всё написать. Пока вопрос к коллегам: можно ли на основе параграфа 3 сделать какое-либо положительное утверждение? Ведь вроде высказывания типа "из истины следует истина" обратимы. значит, учтя, что построение 1 задаёт симметричное отношение, мы можем построенную окружность превратить в исходную, а исходную в построенную. Ну и тогда получится или совсем странное утверждение (все точки внутри квадрата, лежащие на окружностях типа w--точки Штейнгауза), или... Но мне кажется, что так доказывать нельзя. Я и доказывал по-другому. Тем не менее не знаю, прав ли я.
|
||
Вернуться к началу | ||
Nikolay Moskvitin |
|
|
Параграф 5. На полуокружности, построенной на стороне квадрата как на диаметре, во внутреннюю сторону, нет точек Штейнгауза.
Лемма. На двух соседних сторонах параллелограмма [math]ABCD[/math]--[math]BC[/math]и [math]CD[/math]-- выбрано по одной точке ([math]A_1[/math] и [math]B_1[/math] соответственно), делящих их в целом отношении, они соединены с двумя противолежащими вершинами--[math]A[/math] и [math]B[/math] соответственно. Тогда точка пересечения делит каждый из получившихся отрезков также в целом отношении. Пусть данная точка--[math]A_2[/math]. Проведём из вершины [math]C[/math] прямую, параллельную [math]AA_2[/math], а из вершины [math]D[/math]--прямую, параллельную [math]BB_1[/math]. обозначим точки пересечения всех четырёх прямых: [math]AA_1[/math] с [math]DD_1[/math]--[math]B_2[/math], [math]DD_1[/math] с [math]CC_1[/math]--[math]C_2[/math], [math]CC_1[/math] с [math]BB_1[/math]--[math]D_2[/math]. Тогда, по обобщённой теореме Фалеса, [math]\frac{AD_1}{AB}=\frac{AB_2}{AA_2}=m=\frac{B_2D_1}{BA_2}[/math], где [math]m[/math]--целое число и [math]\frac{BA_2}{BD_2}=\frac{BA_1}{BC}=n[/math], где [math]n[/math]-- также целое число. Рассмотрим треугольники [math]AD_1B_2[/math] и [math]CB_1D_2[/math]. Они равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда легко видеть, что [math]\frac{B_1A_1}{B_1D_2}=k[/math], где [math]k[/math]--целое число. Складывая равенство, получаем утверждение. Далее рассмотрим квадрат ABCD и отрезки AA_1, BB_1, CC_1 и DD_1, проходящие через точку E, предположительно являющуюся решением задачи Штейнгауза («существует»); причём отрезки [math]AA_1[/math] и [math]BB_1[/math] перпендикулярны. Найдём условия существования точки в данной конструкции. Для этого применим к четырёхугольнику [math]AEB_1D[/math] теорему Птолемея (он вписанный). Обозначим [math]AE=x[/math], [math]EB_1=y[/math], [math]DB_1=z[/math]. Ясно, что если в следующем «рацидиофантовом» уравнении [math]x^2+y^2-z^2=1[/math] (1) все переменные—числа рациональные, то и отрезок [math]ED[/math]должен быть рациональным. Если это же рассуждение применить к четырёхугольнику [math]EA_1CB_1[/math], получим, что и отрезок [math]CE[/math] должет быть рациональным. Ясно, что из данной точки внутри единичного квадрата две стороны квадрат не могут быть видны под прямым углом так, чтобы все её расстояния до его вершин были рациональными. Теперь перепишем уравнение (1): [math](x+y)^2-z^2=1+2xy (2)[/math]. Обозначим [math]EA_1=u[/math]. Получаем аналогичное уравнение: [math]u^2+y^2-(1-z)^2=(1-\sqrt{1-x^2+u^2})^2 (3)[/math]. [math](1+z^2-(1-z)^2)^2=x^2+u^2[/math] (4). [math](2z^2+2z)^2=x^2+u^2[/math] (5). Дальше достаточно сделать замену [math]2z^2+2z=y[/math], из формулы для пифагоровых троек получаем: [math]x=m^2-n^2[/math], [math]u=2mn[/math], [math]2z^2+2z=m^2+n^2[/math]. Так как диофантово уравнение второй степени изучено хорошо, легко проверить, что данное уравнение не имеет решений. |
||
Вернуться к началу | ||
Nikolay Moskvitin |
|
|
Параграф 6. На сторонах квадрата нет точек Штейнгауза.
Пусть [math]F[/math]-- точка на стороне квадрата. Пусть [math]AF=a[/math]; [math]BF=1-a[/math]; [math]sin{AFD}=\frac{1}{(\sqrt{1+a^2}}[/math]; [math]\cos{AFD}=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}[/math]; [math]sin{BFC}=\frac{1}{\sqrt{1+(1-a)^2}};[/math][math]\cos{BFC}=\frac{1-a}{\sqrt{1+(1-a)^2}}[/math]. [math]\sin{CFD}=\sin{AFD}*\cos{BFC}+\sin{BFC}*\cos{AFD}[/math]. Из этого получается диофантово уравнение второй степени, и можно проверить, имеет ли оно решения. Но здесь я слаб. Прошу помочь мне! Собственно, доказав это, мы докажем, что внутри квадрата нет точек Штейнгауза. |
||
Вернуться к началу | ||
Nikolay Moskvitin |
|
|
Параграф 7. Обоснование заключительной идеи параграфа 6.
Может быть, непонятно, почему я решил, что предыдущего случая достаточно... Я использовал соображения непрерывности: поскольку окружность есть линия непрерывная, то если есть хотя бы одна точка на ней, расстояния от которой до сторон квадрата рациональны, мы, использовав симметрию относительно середины стороны квадрата и относительно самой стороны, можем утверждать, что на ней есть и ещё такие точки. Можно применить теорему Стюарта и теорему о пропорциональности хорд окружности.. Например, если все стороны треугольника [math]AFD[/math]рациональный, то, соединив [math]F[/math]с произвольной точкой [math]S[/math], делящей сторону [math]AB[/math]в целом отношении, получим отрезок, имеющих рациональную величину. Если его продолжить до пересечения с окружностью, не так трудно доказать, что расстояние от точки пересечения до стороны квадрата рационально. Если же расстояния от точки до сторон квадрата иррациональны, она не является точкой Штейнгауза. Таким образом, приходим к противоречию. |
||
Вернуться к началу | ||
Nikolay Moskvitin |
|
|
Параграф 7.2.
Замечание 1.Уточню немного предыдущий параграф. Когда я его писал, я совсем забыл, что в целочисленном треугольнике далеко не все подобные чевианы целочисленны. Но можно утверждать, что, если они нецелочисленны, то в конструкции параграфа 7 не будет точек Штейнгауза, если же целочисленны, возникнет противоречие. Также, замечание 2:К чему я вспомнил непрерывность? А вот: точки, проходя всё множество отрезка, можно преобразовать с помощью центральной проекции в точки на окружности. Замечание 3. Вместо того, чтобы находиться в квадрате, я сам вылез за его пределы и доказал для точек на дугах окружностей, не явл.окр. типа [math]w[/math], находящихся вне квадрата. То есть, обосновал несуществование точек Штейнгауза именно на этих дугах. Но через теорему о пропорциональности отрезков хорд можно доказать и для точек внутри квадрата. Ну а если учесть идею параграфа 3, мне кажется, можно даже утверждать о несуществовании точек Штейнгауза на всей плоскости. Но пока это строго не установлено. |
||
Вернуться к началу | ||
Trakovski |
|
|
Nikolay Moskvitin писал(а): Введение. Задача, которую автор собирается здесь исследовать, в несколько изменённом виде была дана в книге известного польского математика Г.Штейнгауза "Задачи и размышления" в задаче 11: "Можно ли построить квадрат с целочисленными сторонами и указать в его плоскости такую точку, чтобы расстояния от этой точки до всех 4 вершин квадрата выражались целыми числами?" Позднее задача была переформулирована и поставлена так: "Существует ли внутри единичного квадрата точка, все расстояния от которой до его вершин рациональны?" В числе работ, составивших не теоретическую основу, а научный аппарат--работы Лузина и Нестеренко (Лузин, Н.Н. Дифференциальное исчисление. М,1958. Глава 1; Нестеренко, Ю.В. Теория чисел. М, 2008, глава 6). Задача сформулирована просто и, на мой взгляд, решается так же просто: 1. Построить квадрат [math]ABCD[/math] с целочисленными сторонами не составляет никакого труда. 2. Соедините противолежащие вершины квадрата диагоналями [math]AC[/math] и [math]BD[/math]. Точку пересечения диагоналей обозначьте буквой [math]E[/math]. 3. Несложно определить, чему равны диагонали квадрата. Точка их пересечения [math]E[/math] равноудалена от вершин квадрата, но расстояния до них не могут быть величиной не только целой, но и рациональной. 4. В произвольном месте в пределах треугольника [math]AED[/math] поставьте точку [math]F[/math]. Соедините ее отрезками прямой с вершинами треугольника [math]AED[/math]. 5. Рассмотрите один из полученных треугольников подробнее, к примеру - треугольник [math]AEF[/math]. Длина стороны этого треугольника [math]EF[/math] может быть рациональной величиной, вы выбирали ее произвольно. Другая сторона треугольника, ее основание [math]AE[/math], не что иное, как половинка диагонали квадрата, ее длина - величина иррациональная. 6. Думаю, что следующее утверждение не требует доказательств: Если длина одной из сторон треугольника величина иррациональная, то длина хотя бы одной из двух других его сторон то же является таковой. В нашем случае это длина отрезка [math]AF[/math]. Может быть, я не так понял задачу и как следствие всю сложность ее решения свел к простому рассмотрению треугольников внутри другого треугольника, опирающегося на одну из сторон квадрата? Поправьте, если ошибся. |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
Trakovski писал(а): 6. Думаю, что следующее утверждение не требует доказательств: Если длина одной из сторон треугольника величина иррациональная, то длина хотя бы одной из двух других его сторон то же является таковой Согласен, что не требует доказательств. Оно очевидно неверное. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 31 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Попытка вычислить то, что установлено экспериментально
в форуме Атомная и Ядерная физика |
5 |
573 |
11 июн 2023, 09:43 |
|
Попытка напечатать синусоидальную волну
в форуме Тригонометрия |
3 |
343 |
05 июл 2022, 07:16 |
|
Привести пример частичного порядка | 0 |
35 |
07 фев 2024, 23:47 |
|
Гипотеза ABC
в форуме Теория чисел |
15 |
941 |
21 июл 2021, 19:09 |
|
Доказательства
в форуме Алгебра |
8 |
422 |
14 окт 2016, 10:46 |
|
Доказательства | 9 |
386 |
18 окт 2016, 11:10 |
|
Гипотеза TERGENA
в форуме Теория чисел |
6 |
726 |
09 мар 2015, 22:36 |
|
Гипотеза Блиновой | 27 |
1551 |
18 фев 2020, 00:58 |
|
Обобщение ВТФ: гипотеза
в форуме Палата №6 |
9 |
791 |
23 сен 2014, 22:59 |
|
Эргодическая гипотеза | 27 |
3047 |
04 июн 2014, 02:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |