  Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Вход
Регистрация
Альбомы
FAQ
Поиск| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
  |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| wrobel |
|
||
16 сен 2015, 13:47 Сообщений: 698 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 86 раз в 85 сообщениях Очков репутации: 20   
|
Известно, что [math]\sup_{t\ge 0}r(t)<\infty.[/math] Найти [math]\limsup_{t\to\infty} r(t)[/math] |
||
| Вернуться к началу |   |
||
 |
|||
| Exzellenz |
|
|||
21 дек 2021, 01:39 Сообщений: 1706 Cпасибо сказано: 75 Спасибо получено: 325 раз в 312 сообщениях Очков репутации: 70
|
Странно... Откуда известно, что [math]\sup{r(t)}< \infty[/math]? У меня решение расходящееся.
Рассмотрим неинерциальную СО, связанную с цилиндром. На шарик действует центробежная сила [math]F_z=m \omega ^2r,[/math] а также проекция силы тяжести на ось цилиндра [math]F=mg\sin{ \omega t}.[/math] Таким образом получаем дифур [math]\ddot{r}= \omega ^2r+g\sin{ \omega t}.[/math] Его решение: [math]r=r_0e^{ \omega t}+\frac{ g }{ 2 \omega ^2 }\left[ \operatorname{sh}( \omega t) -\sin{( \omega t)} \right][/math] |
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| wrobel |
|
||
16 сен 2015, 13:47 Сообщений: 698 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 86 раз в 85 сообщениях Очков репутации: 20
|
Exzellenz писал(а): Странно... Откуда известно, что [math]\sup{r(t)}< \infty[/math]? по условию Exzellenz писал(а): Таким образом получаем дифур [math]\ddot{r}= \omega ^2r+g\sin{ \omega t}.[/math] верно Exzellenz писал(а): Его решение: [math]r=r_0e^{ \omega t}+\frac{ g }{ 2 \omega ^2 }\left[ \operatorname{sh}( \omega t) -\sin{( \omega t)} \right][/math] уравнение второго порядка, а постоянная интегрирования одна? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| wrobel |
|
||
16 сен 2015, 13:47 Сообщений: 698 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 86 раз в 85 сообщениях Очков репутации: 20
|
там есть, короче, ограниченное решение, а я допустил неаккуратность. Надо было говорить, что r это координата шарика на оси, проходящей через трубку, и соответственно предполагать |r(t)|<const
тогда все корректно. У меня написано, что r это расстояние, а это предполагает r>0 что не есть хорошо |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Exzellenz |
|
|||
21 дек 2021, 01:39 Сообщений: 1706 Cпасибо сказано: 75 Спасибо получено: 325 раз в 312 сообщениях Очков репутации: 70
|
wrobel писал(а): по условию Ясно, что по условию. Вопрос в том, кто и на каком основании придумал такое условие.Впрочем, кажется, я где-то в чем-то наврал: похоже, это условие и в самом деле возможно. Надо eщe помыслить. wrobel писал(а): уравнение второго порядка, а постоянная интегрирования одна? Ну да, извиняюсь. Исправление: общее решение однородного ур-ния [math]r=c_1e^{ \omega t}+c_2e^{- \omega t},[/math] из начальных условий [math]c_1+c_2=r_0[/math]Только на асимптотику это не влияет. Разве что положить [math]c_1=0, \; c_2=r_0.[/math] Только чем обосновать такой произвол? Да и гиперболический синус все равно расходится. Надо подумать. |
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| wrobel |
|
||
16 сен 2015, 13:47 Сообщений: 698 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 86 раз в 85 сообщениях Очков репутации: 20
|
дифур, который вы написали, имеет множество ограниченных при t>0 решений
[math]r(t)=ce^{-\omega t}-\frac{g}{2\omega ^2}\sin\omega t[/math] только эти решения удовлетворяют условию задачи. Соответственно [math]\limsup_{t\to\infty}r(t)=\frac{g}{2\omega ^2}[/math] по модулю, разумеется, моих неаккуратностей |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Exzellenz |
|
|||
21 дек 2021, 01:39 Сообщений: 1706 Cпасибо сказано: 75 Спасибо получено: 325 раз в 312 сообщениях Очков репутации: 70
|
А куда вы дели гиперболический синус? Он получается как часное решение неоднородного дифура. Нельзя же его просто игнорировать?
|
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| wrobel |
|
||
16 сен 2015, 13:47 Сообщений: 698 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 86 раз в 85 сообщениях Очков репутации: 20
|
Проверьте прямым вычислением, что
[math]r(t)=c_1e^{-\omega t}+c_2e^{\omega t}-\frac{g}{2\omega ^2}\sin\omega t[/math] есть общее решение дифура; [math]\sup_{t\ge 0}|r(t)|<\infty\Longrightarrow c_2=0[/math] Exzellenz писал(а): А куда вы дели гиперболический синус? Он получается как часное решение неоднородного дифура. он частное решение однородного дифура |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| sergebsl |
|
||
10 дек 2013, 02:33 Сообщений: 3202 Cпасибо сказано: 258 Спасибо получено: 412 раз в 402 сообщениях Очков репутации: 51
|
Exzellenz писал(а): Странно... Откуда известно, что [math]\sup{r(t)}< \infty[/math]? У меня решение расходящееся. Рассмотрим неинерциальную СО, связанную с цилиндром. На шарик действует центробежная сила [math]F_z=m \omega ^2r,[/math] а также проекция силы тяжести на ось цилиндра [math]F=mg\sin{ \omega t}.[/math] Таким образом получаем дифур [math]\ddot{r}= \omega ^2r+g\sin{ \omega t}.[/math] Его решение: [math]r=r_0e^{ \omega t}+\frac{ g }{ 2 \omega ^2 }\left[ \operatorname{sh}( \omega t) -\sin{( \omega t)} \right][/math] Спасибо Вам огромное за представленные ваши мысли и решения. Никто кроме Вас здесь так не изъясняется. Забыл упомянуть: Revos ещё очень хорошо расписывает. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| revos |
|
||
16 ноя 2022, 00:00 Сообщений: 811 Cпасибо сказано: 50 Спасибо получено: 271 раз в 258 сообщениях Очков репутации: 68
|
wrobel
Цитата: Надо было говорить, что r это координата шарика на оси, проходящей через трубку, и соответственно предполагать |r(t)|<const тогда все корректно. У меня написано, что r это расстояние, а это предполагает r>0 что не есть хорошо всё равно не срастается.  Тем не менее, последнее слагаемое в уравнении надо записать со знаком " [math]-[/math] ", и лучше с произвольной фазой. [math]\ddot{ \mathsf{r} } = \omega ^{2} \cdot \mathsf{r} - \mathsf{g} \cdot \sin{ \left( \omega \mathsf{t} + \varphi _{0} \right) }[/math] Ответ: [math]\mathsf{r} \left( \mathsf{t} \right) = \mathsf{c} 1 \cdot \mathsf{e} ^{ \omega \mathsf{t} } + \mathsf{c} 2 \cdot \mathsf{e} ^{ - \omega \mathsf{t} } + \frac{ \mathsf{g} }{ 2 \cdot \omega ^{2} } \cdot \sin{\left( \omega \mathsf{t} + \varphi _{0} \right) }.[/math] |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
|
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Найти давление воздуха в трубке
в форуме Школьная физика |
2 |
242 |
24 фев 2021, 23:26 |
|
| Шарик в конусе | 13 |
237 |
24 окт 2023, 11:57 |
|
| Сфера, шарик, магниты | 3 |
561 |
30 янв 2018, 12:54 |
|
|
Шарик в конической воронке
в форуме Механика |
16 |
1159 |
23 авг 2020, 14:50 |
|
|
Куда попадет шарик?
в форуме Теория вероятностей |
15 |
286 |
02 ноя 2022, 08:44 |
|
|
Два симметрично вложенных квадрата и шарик
в форуме Геометрия |
16 |
984 |
13 мар 2015, 21:34 |
|
|
Почему при перемещении подвеса будет двигаться шарик ?
в форуме Механика |
26 |
628 |
28 янв 2022, 01:41 |
|
|
Найти вероятность того, что этот шарик будет белой
в форуме Теория вероятностей |
1 |
114 |
26 дек 2020, 16:27 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
