  Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Вход
Регистрация
Альбомы
FAQ
Поиск| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
  |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 18 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| viryna |
|
||
12 июл 2022, 07:56 Сообщений: 26 Cпасибо сказано: 10 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: -1   
|
Приветствую вас. Попалась интересная задачка. [math]a[/math] и [math]b[/math] - вещественные числа такие, что [math](a+b)[/math] - целое и [math]a^2+b^2=2[/math]. Требуется найти все пары [math](a,b)[/math] и доказать, что других кроме найденных нет. Я нашла только 4 пары решений: [math]a= \pm 1, b= \pm 1[/math] в различных сочетаниях. Ну это то, что сразу бросается в глаза. Но есть ли еще? |
||
| Вернуться к началу |   |
||
 |
|||
| michel |
|
||
08 апр 2015, 12:21 Сообщений: 7294 Cпасибо сказано: 218 Спасибо получено: 2622 раз в 2418 сообщениях Очков репутации: 436 
|
viryna писал(а): Но есть ли еще? Сколько угодно: [math]a= \pm \sqrt{{2-b^2} }[/math] для [math]b \in \left[ -\sqrt{2}; \sqrt{2} \right][/math]. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Booker48 |
|
||
02 дек 2016, 22:55 Сообщений: 4507 Cпасибо сказано: 295 Спасибо получено: 786 раз в 738 сообщениях Очков репутации: 107
|
Очевидно, [math]\left| a \right|, \left| b \right| \leqslant \sqrt{2}[/math] и [math]a+b[/math] может быть равно [math]0, \pm 1, \pm 2[/math].
Равенство 0 даёт найденные вами решения. Остальные легко находятся из системы [math]\left\{\!\begin{aligned} & a^2+b^2=2 \\ & a+b = \pm 1, \pm 2 \end{aligned}\right.[/math] |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали: ferma-T, viryna |
|||
|
|||
| Booker48 |
|
||
02 дек 2016, 22:55 Сообщений: 4507 Cпасибо сказано: 295 Спасибо получено: 786 раз в 738 сообщениях Очков репутации: 107
|
michel
Требуется, чтобы сумма a и b была целочисленной. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали: michel |
|||
|
|||
| michel |
|
||
08 апр 2015, 12:21 Сообщений: 7294 Cпасибо сказано: 218 Спасибо получено: 2622 раз в 2418 сообщениях Очков репутации: 436
|
Да, что-то я не разглядел условие, что [math]a+b[/math] должно быть целым числом, но в любом случае а и b не обязаны быть целочисленными, как видимо считает ТС.
|
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| MurChik |
|
||
10 окт 2022, 11:47 Сообщений: 240 Cпасибо сказано: 3 Спасибо получено: 76 раз в 70 сообщениях Очков репутации: 11
|
[math]\phantom{0}[/math]
Последний раз редактировалось MurChik 05 мар 2023, 12:19, всего редактировалось 1 раз. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Gagarin |
|
||
20 сен 2013, 23:46 Сообщений: 1578 Cпасибо сказано: 418 Спасибо получено: 358 раз в 300 сообщениях Очков репутации: 80
|
michel писал(а): viryna писал(а): Но есть ли еще? Сколько угодноИз той системы, которую предложил Booker48, я нашёл ещё 4 пары. Только я бы немного упростил. Из 5 вариантов: [math]a+b=-2,~~ a+b=-1,~~ a+b=0,~~ a+b=1,~~ a+b=2[/math] в силу симметрии достаточно решить только 3 системы: [math]\left\{\!\begin{aligned} & a + b = 0 \\ & a^2 + b^2 = 2 \end{aligned}\right.[/math], [math]\left\{\!\begin{aligned} & a + b = 1 \\ & a^2 + b^2 = 2 \end{aligned}\right.[/math], [math]\left\{\!\begin{aligned} & a + b = 2 \\ & a^2 + b^2 = 2 \end{aligned}\right.[/math] В итоге всего 8 решений. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали: viryna |
|||
|
|||
| Gagarin |
|
||
20 сен 2013, 23:46 Сообщений: 1578 Cпасибо сказано: 418 Спасибо получено: 358 раз в 300 сообщениях Очков репутации: 80
|
MurChik писал(а): [math]a=0, \pm 1, \pm 2;[/math] [math]b=m-a[/math] MurChikЭто неверно. Сколько же у Вас получается решений? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| viryna |
|
||
12 июл 2022, 07:56 Сообщений: 26 Cпасибо сказано: 10 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: -1
|
michel писал(а): в любом случае а и b не обязаны быть целочисленными, как видимо считает ТС Нет, я так вовсе не считаю.Я решила эти системы, и у меня таки получилось 8 пар: [math](1, 1); \quad (-1, -1); \quad (1, -1); \quad (-1, 1); \quad (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}); \quad (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}); \quad (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}); \quad (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})[/math] Правильно? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| MurChik |
|
||
10 окт 2022, 11:47 Сообщений: 240 Cпасибо сказано: 3 Спасибо получено: 76 раз в 70 сообщениях Очков репутации: 11
|
Gagarin писал(а): MurChik писал(а): [math]a=0, \pm 1, \pm 2;[/math] [math]b=m-a[/math] MurChikЭто неверно. Сколько же у Вас получается решений? Я еще не проснулся. [math]a+b=m \Rightarrow b=m-a \Rightarrow a^2+(m-a)^2=2 \Rightarrow 2a^2-2ma+m^2-2=0 \Rightarrow[/math] [math]a=\frac{m \pm \sqrt{4-m^2}}{2}\Rightarrow m=0, \pm 1, \pm 2 \Rightarrow a=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}, \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}, \pm 1;[/math] Считать сколько получится разных решений не хочется. Последний раз редактировалось MurChik 05 мар 2023, 12:52, всего редактировалось 1 раз. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
|
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 18 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Квадратное уравнение
в форуме Алгебра |
2 |
285 |
12 янв 2018, 15:30 |
|
|
Квадратное уравнение
в форуме Алгебра |
2 |
622 |
21 окт 2017, 17:30 |
|
|
Квадратное уравнение
в форуме Алгебра |
9 |
419 |
22 дек 2015, 00:00 |
|
|
Квадратное уравнение
в форуме Алгебра |
2 |
324 |
06 авг 2015, 07:13 |
|
|
Квадратное уравнение
в форуме Алгебра |
2 |
524 |
12 июл 2013, 14:58 |
|
|
Квадратное уравнение
в форуме Алгебра |
2 |
270 |
13 июн 2016, 17:48 |
|
| Квадратное уравнение | 5 |
590 |
20 сен 2014, 10:20 |
|
|
Квадратное уравнение
в форуме Тригонометрия |
8 |
348 |
20 апр 2017, 19:34 |
|
|
Квадратное уравнение. p+q
в форуме Алгебра |
5 |
230 |
10 фев 2022, 13:28 |
|
|
Квадратное уравнение
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
131 |
15 мар 2022, 14:25 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
