Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 06 янв 2023, 21:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 сен 2021, 11:59
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер! Сижу над проблемой и слабо двигаюсь, прошу подсказки.
Дано уравнение [math]x^3 - 3xy^2+y^2 = n[/math]. Доказать, что если при каждом натуральном [math]n[/math] есть целочисленное решение, то есть по меньшей мере еще 2 целочисленных решения
Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 13:09 
Не в сети
Продвинутый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 ноя 2022, 21:03
Сообщений: 89
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
25 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Утверждение неверно: при [math]n=4[/math] есть одно решение: [math]x=0; y=2,[/math] и только еще ОДНО целочисленное решение: [math]x=0; y=-2.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Niemand "Спасибо" сказали:
Fyodor272000
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 13:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1123
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
209 раз в 203 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разрешим относительно у: [math]y=\sqrt{\frac{n-x^3}{1-3x}},[/math] при этом у должен быть целым числом, обозначим его как [math]k.[/math]
Тогда [math]\frac{n-x^3}{1-3x}=k^2 \Longrightarrow x^3-3k^2x+k^2-n=0.[/math]

Если [math]n=k^2,[/math] последнее уравнение упрощается: [math]x^3-3k^2x=0,[/math], откуда первое решение [math]x=0,[/math] (при этом [math]y= \pm k[/math]), a еще 2 решения из [math]x^2-3k^2=0 \Longrightarrow x= \pm k\sqrt{3}[/math] - не может быть целочисленным ни при каких [math]k.[/math]

Таким образом, Niemand прав: утверждение неверно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали:
Fyodor272000
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 13:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1293
Cпасибо сказано: 106
Спасибо получено:
525 раз в 416 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не могли бы четче сформулировать условие. Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения. А если для некоторого [math]n[/math] решения есть, то их может быть и меньше трех.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 13:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 сен 2021, 11:59
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Не могли бы четче сформулировать условие. Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения. А если для некоторого [math]n[/math] решения есть, то их может быть и меньше трех.


Благодарю за замечания, но я буквально скопировал данное мне условие и похоже, доказательство того что это неправда можно считать решением

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 14:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 сен 2021, 11:59
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Разрешим относительно у: [math]y=\sqrt{\frac{n-x^3}{1-3x}},[/math] при этом у должен быть целым числом, обозначим его как [math]k.[/math]
Тогда [math]\frac{n-x^3}{1-3x}=k^2 \Longrightarrow x^3-3k^2x+k^2-n=0.[/math]

Если [math]n=k^2,[/math] последнее уравнение упрощается: [math]x^3-3k^2x=0,[/math], откуда первое решение [math]x=0,[/math] (при этом [math]y= \pm k[/math]), a еще 2 решения из [math]x^2-3k^2=0 \Longrightarrow x= \pm k\sqrt{3}[/math] - не может быть целочисленным ни при каких [math]k.[/math]

Таким образом, Niemand прав: утверждение неверно.


> [math]x= \pm k\sqrt{3}[/math] не может быть целочисленным ни при каких k.

Спасибо вам за эти замечания. К сожалению я не могу дополнить формулировку, я буквально скопировал ее, но мне кажется доказательство обратного это тоже решение.

Хотел дополнить, никаких k кроме 0, а если считать 0 натуральным, то мы просто получаем еще одно точно такое же решение (0,0). Это ситуацию, конечно не улучшает, но об этом мне кажется стоит написать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 14:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 сен 2021, 11:59
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows писал(а):
Не могли бы четче сформулировать условие. Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения. А если для некоторого [math]n[/math] решения есть, то их может быть и меньше трех.


>Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения
Я не понял почему? Вы могли бы привести пример?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 15:45 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 апр 2020, 10:40
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
25 раз в 20 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Разрешим относительно у: [math]y=\sqrt{\frac{n-x^3}{1-3x}},[/math] при этом у должен быть целым числом, обозначим его как [math]k.[/math]
Тогда [math]\frac{n-x^3}{1-3x}=k^2 \Longrightarrow x^3-3k^2x+k^2-n=0.[/math]

Если [math]n=k^2,[/math] последнее уравнение упрощается: [math]x^3-3k^2x=0,[/math], откуда первое решение [math]x=0,[/math] (при этом [math]y= \pm k[/math]), a еще 2 решения из [math]x^2-3k^2=0 \Longrightarrow x= \pm k\sqrt{3}[/math] - не может быть целочисленным ни при каких [math]k.[/math]

Таким образом, Niemand прав: утверждение неверно.

Всё это сплошное недоразумение.
Если [math]n=k^2,[/math]...
Вы не можете ограничиться только этим случаем. n - это фиксированный параметр. k - произвольное целое число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 17:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1123
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
209 раз в 203 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Bloodhound писал(а):
Всё это сплошное недоразумение.
Если [math]n=k^2,[/math]...
Вы не можете ограничиться только этим случаем. n - это фиксированный параметр. k - произвольное целое число.
Сплошное недоразумение - это у вас.
В задании было сказано: "ПРИ ЛЮБОМ n, ЕСЛИ существует одно целочисленное решение, ТО существуют еще как минимум два".
Если n может быть любым, то может быть равно также и k^2. А в этом случае утверждение задачи не выполняется. Что и доказывает ошибочность исходного утверждения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Целые решения уравнения от двух переменных
СообщениеДобавлено: 07 янв 2023, 18:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1293
Cпасибо сказано: 106
Спасибо получено:
525 раз в 416 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fyodor272000 писал(а):
Shadows писал(а):
Не могли бы четче сформулировать условие. Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения. А если для некоторого [math]n[/math] решения есть, то их может быть и меньше трех.

>Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения
Я не понял почему? Вы могли бы привести пример?
Пожалуйста, возьмем [math]n=6[/math] Наше уравнени есть

[math]y^2=\frac{x^3-n}{3x-1}[/math] Для любого [math]n[/math] данная дробь будет целым числом только для ограниченных значений [math]x[/math] - таких x - конечное число - число делителей [math]27n-1[/math] (делить полиномы умеете?) Таким образом, при [math]n=6[/math] дробь будет целое только при [math]x=\{0,-2,8,54\}[/math]
Увы, ни одно из них не дает квадрат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
Fyodor272000
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти целые решения уравнения

в форуме Алгебра

alinamu

4

164

27 янв 2020, 00:38

Найти целые неотрицательные решения уравнения

в форуме Теория чисел

Nastya Way

2

936

26 ноя 2015, 17:46

Найти положительные целые решения уравнения

в форуме Алгебра

newtagi

17

789

01 мар 2016, 18:07

Найти целые решения системы

в форуме Алгебра

ARTURSILA

4

287

30 ноя 2018, 17:06

Диофантово уравнение. Найти целые решения

в форуме Алгебра

Woxa999

5

1246

09 июн 2013, 19:49

Целые рациональные уравнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

IvanZol

3

455

22 окт 2013, 15:47

Решение уравнения a^x+b^y=c^z , где z>x,y (целые числа)

в форуме Теория чисел

Andrei Parfentiev

3

755

18 фев 2014, 17:12

Докажите, что корни уравнения - целые числа

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

alamat

3

915

01 ноя 2013, 19:49

Многочлен от двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nickspa

1

334

10 дек 2016, 20:06

Функции двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Vikusheva

1

446

21 май 2013, 16:07


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved