  Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Вход
Регистрация
Альбомы
FAQ
Поиск| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
  |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 16 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| Fyodor272000 |
|
||
25 сен 2021, 11:59 Сообщений: 46 Cпасибо сказано: 25 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1   
|
Добрый вечер! Сижу над проблемой и слабо двигаюсь, прошу подсказки. Дано уравнение [math]x^3 - 3xy^2+y^2 = n[/math]. Доказать, что если при каждом натуральном [math]n[/math] есть целочисленное решение, то есть по меньшей мере еще 2 целочисленных решения Спасибо |
||
| Вернуться к началу |   |
||
 |
|||
| Niemand |
|
|||
15 ноя 2022, 21:03 Сообщений: 89 Cпасибо сказано: 8 Спасибо получено: 25 раз в 23 сообщениях Очков репутации: 7
|
Утверждение неверно: при [math]n=4[/math] есть одно решение: [math]x=0; y=2,[/math] и только еще ОДНО целочисленное решение: [math]x=0; y=-2.[/math]
|
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| За это сообщение пользователю Niemand "Спасибо" сказали: Fyodor272000 |
||||
|
||||
| Exzellenz |
|
|||
21 дек 2021, 01:39 Сообщений: 1123 Cпасибо сказано: 43 Спасибо получено: 209 раз в 203 сообщениях Очков репутации: 27
|
Разрешим относительно у: [math]y=\sqrt{\frac{n-x^3}{1-3x}},[/math] при этом у должен быть целым числом, обозначим его как [math]k.[/math]
Тогда [math]\frac{n-x^3}{1-3x}=k^2 \Longrightarrow x^3-3k^2x+k^2-n=0.[/math] Если [math]n=k^2,[/math] последнее уравнение упрощается: [math]x^3-3k^2x=0,[/math], откуда первое решение [math]x=0,[/math] (при этом [math]y= \pm k[/math]), a еще 2 решения из [math]x^2-3k^2=0 \Longrightarrow x= \pm k\sqrt{3}[/math] - не может быть целочисленным ни при каких [math]k.[/math] Таким образом, Niemand прав: утверждение неверно. |
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали: Fyodor272000 |
||||
|
||||
| Shadows |
|
||
17 окт 2013, 19:46 Сообщений: 1293 Cпасибо сказано: 106 Спасибо получено: 525 раз в 416 сообщениях Очков репутации: 153
|
Не могли бы четче сформулировать условие. Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения. А если для некоторого [math]n[/math] решения есть, то их может быть и меньше трех.
|
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Fyodor272000 |
|
||
25 сен 2021, 11:59 Сообщений: 46 Cпасибо сказано: 25 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
Shadows писал(а): Не могли бы четче сформулировать условие. Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения. А если для некоторого [math]n[/math] решения есть, то их может быть и меньше трех. Благодарю за замечания, но я буквально скопировал данное мне условие и похоже, доказательство того что это неправда можно считать решением |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Fyodor272000 |
|
||
25 сен 2021, 11:59 Сообщений: 46 Cпасибо сказано: 25 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
Exzellenz писал(а): Разрешим относительно у: [math]y=\sqrt{\frac{n-x^3}{1-3x}},[/math] при этом у должен быть целым числом, обозначим его как [math]k.[/math] Тогда [math]\frac{n-x^3}{1-3x}=k^2 \Longrightarrow x^3-3k^2x+k^2-n=0.[/math] Если [math]n=k^2,[/math] последнее уравнение упрощается: [math]x^3-3k^2x=0,[/math], откуда первое решение [math]x=0,[/math] (при этом [math]y= \pm k[/math]), a еще 2 решения из [math]x^2-3k^2=0 \Longrightarrow x= \pm k\sqrt{3}[/math] - не может быть целочисленным ни при каких [math]k.[/math] Таким образом, Niemand прав: утверждение неверно. > [math]x= \pm k\sqrt{3}[/math] не может быть целочисленным ни при каких k. Спасибо вам за эти замечания. К сожалению я не могу дополнить формулировку, я буквально скопировал ее, но мне кажется доказательство обратного это тоже решение. Хотел дополнить, никаких k кроме 0, а если считать 0 натуральным, то мы просто получаем еще одно точно такое же решение (0,0). Это ситуацию, конечно не улучшает, но об этом мне кажется стоит написать. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Fyodor272000 |
|
||
25 сен 2021, 11:59 Сообщений: 46 Cпасибо сказано: 25 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
Shadows писал(а): Не могли бы четче сформулировать условие. Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения. А если для некоторого [math]n[/math] решения есть, то их может быть и меньше трех. >Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения Я не понял почему? Вы могли бы привести пример? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Bloodhound |
|
||
17 апр 2020, 10:40 Сообщений: 70 Cпасибо сказано: 1 Спасибо получено: 25 раз в 20 сообщениях Очков репутации: 8
|
Exzellenz писал(а): Разрешим относительно у: [math]y=\sqrt{\frac{n-x^3}{1-3x}},[/math] при этом у должен быть целым числом, обозначим его как [math]k.[/math] Тогда [math]\frac{n-x^3}{1-3x}=k^2 \Longrightarrow x^3-3k^2x+k^2-n=0.[/math] Если [math]n=k^2,[/math] последнее уравнение упрощается: [math]x^3-3k^2x=0,[/math], откуда первое решение [math]x=0,[/math] (при этом [math]y= \pm k[/math]), a еще 2 решения из [math]x^2-3k^2=0 \Longrightarrow x= \pm k\sqrt{3}[/math] - не может быть целочисленным ни при каких [math]k.[/math] Таким образом, Niemand прав: утверждение неверно. Всё это сплошное недоразумение. Если [math]n=k^2,[/math]... Вы не можете ограничиться только этим случаем. n - это фиксированный параметр. k - произвольное целое число. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Exzellenz |
|
|||
21 дек 2021, 01:39 Сообщений: 1123 Cпасибо сказано: 43 Спасибо получено: 209 раз в 203 сообщениях Очков репутации: 27
|
Bloodhound писал(а): Всё это сплошное недоразумение. Сплошное недоразумение - это у вас.Если [math]n=k^2,[/math]... Вы не можете ограничиться только этим случаем. n - это фиксированный параметр. k - произвольное целое число. В задании было сказано: "ПРИ ЛЮБОМ n, ЕСЛИ существует одно целочисленное решение, ТО существуют еще как минимум два". Если n может быть любым, то может быть равно также и k^2. А в этом случае утверждение задачи не выполняется. Что и доказывает ошибочность исходного утверждения. |
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| Shadows |
|
||
17 окт 2013, 19:46 Сообщений: 1293 Cпасибо сказано: 106 Спасибо получено: 525 раз в 416 сообщениях Очков репутации: 153
|
Fyodor272000 писал(а): Shadows писал(а): Не могли бы четче сформулировать условие. Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения. А если для некоторого [math]n[/math] решения есть, то их может быть и меньше трех. >Очевидно, что не при каждом [math]n[/math] есть целочисленные решения Я не понял почему? Вы могли бы привести пример? [math]y^2=\frac{x^3-n}{3x-1}[/math] Для любого [math]n[/math] данная дробь будет целым числом только для ограниченных значений [math]x[/math] - таких x - конечное число - число делителей [math]27n-1[/math] (делить полиномы умеете?) Таким образом, при [math]n=6[/math] дробь будет целое только при [math]x=\{0,-2,8,54\}[/math] Увы, ни одно из них не дает квадрат. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: Fyodor272000 |
|||
|
|||
|
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 16 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Найти целые решения уравнения
в форуме Алгебра |
4 |
164 |
27 янв 2020, 00:38 |
|
|
Найти целые неотрицательные решения уравнения
в форуме Теория чисел |
2 |
936 |
26 ноя 2015, 17:46 |
|
|
Найти положительные целые решения уравнения
в форуме Алгебра |
17 |
789 |
01 мар 2016, 18:07 |
|
|
Найти целые решения системы
в форуме Алгебра |
4 |
287 |
30 ноя 2018, 17:06 |
|
|
Диофантово уравнение. Найти целые решения
в форуме Алгебра |
5 |
1246 |
09 июн 2013, 19:49 |
|
|
Целые рациональные уравнения
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
455 |
22 окт 2013, 15:47 |
|
|
Решение уравнения a^x+b^y=c^z , где z>x,y (целые числа)
в форуме Теория чисел |
3 |
755 |
18 фев 2014, 17:12 |
|
| Докажите, что корни уравнения - целые числа | 3 |
915 |
01 ноя 2013, 19:49 |
|
|
Многочлен от двух переменных
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
1 |
334 |
10 дек 2016, 20:06 |
|
|
Функции двух переменных
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
1 |
446 |
21 май 2013, 16:07 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
