Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Boris Skovoroda |
|
|
MihailM писал(а): Может там >=? Наверно, это именно так. Тогда становится понятно почему во втором неравенстве знак [math]\leqslant[/math], а не [math]<[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Boris Skovoroda |
|
|
Bloodhound писал(а): осталось доказать обратное утверждение: что через любую точку единичной сферы можно провести плоскость указанного вида Пусть [math](x,y,z) - \,[/math] произвольная точка, принадлежащая сфере [math]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.[/math] Нужно доказать, что существуют числа [math]a, b, c[/math] и [math]d[/math], для которых будет выполняться равенство [math]Ax+By+Cz+D=0,[/math] где [math]A=2(ac+bd),B=2(ad-bc),C=a^2+b^2-c^2-d^2, D=a^2+b^2+c^2+d^2[/math] и [math]A^2+B^2+C^2 \ne 0.[/math] Поскольку [math]A^2+B^2+C^2=D^2,[/math] то [math]D \ne 0.[/math] Будем считать, что [math]D=1.[/math] Нормальный вектор [math](A,B,C)[/math] касательной плоскости и радиус-вектор точки [math](x,y,z)[/math] длжны быть коллинеарны, то есть для некоторого числа [math]k[/math] должны выполняться равенства [math]A=kx,B=ky,C=kz.[/math] Подставляя [math]A,B,C[/math] в уравнение [math]Ax+By+Cz+1=0,[/math] находим, что [math]k=-1.[/math] Таким образом, для любых [math]x,y,z[/math] нужно найти хотя бы одно решение следующей системы уравнений [math]ac+bd=-\frac{ x }{ 2},[/math] [math]ad-bc=-\frac{ y }{ 2},[/math] [math]a^2+b^2-c^2-d^2=- z ,[/math] [math]a^2+b^2+c^2+d^2=1.[/math] К третьему уравнению прибавим четвёртое и поделим на два, получим уравнение [math]a^2+b^2=\frac{ 1-z }{ 2 }.[/math] Если [math]z=1,[/math] то из уравнения сферы получаем, что [math]x=0[/math] и [math]y=0[/math]. Значит, [math]a=0, b=0, c=0, d=1[/math] будет решением системы уравнений. Если [math]z<1,[/math] то в качестве [math]a[/math] и [math]b[/math] возьмём любое решение уравнения [math]a^2+b^2=\frac{ 1-z }{ 2 },[/math] а [math]c[/math] и [math]d[/math] найдём как решение первых двух уравнений системы уравнений. Получим, что [math]c=\frac{ -xa+yb }{ 1-z }, d=-\frac{ ya+xb }{ 1-z }.[/math] Нетрудно убедиться, что при таких [math]a, b, c[/math] и [math]d[/math] четвёрое уравнение выполняется. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали: MihailM |
||
На страницу Пред. 1, 2 | [ Сообщений: 12 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Неравенства
в форуме Алгебра |
10 |
400 |
14 сен 2020, 17:01 |
|
Неравенства
в форуме Алгебра |
1 |
418 |
28 дек 2015, 23:31 |
|
Неравенства
в форуме Тригонометрия |
10 |
560 |
19 сен 2017, 08:32 |
|
Неравенства
в форуме Алгебра |
19 |
604 |
11 сен 2018, 18:04 |
|
Неравенства
в форуме Алгебра |
1 |
207 |
26 июн 2020, 21:03 |
|
Неравенства
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
3 |
494 |
23 сен 2015, 19:46 |
|
Неравенства
в форуме Алгебра |
1 |
283 |
18 дек 2018, 01:09 |
|
Неравенства
в форуме Алгебра |
19 |
954 |
02 янв 2016, 14:55 |
|
Неравенства
в форуме Алгебра |
9 |
274 |
31 янв 2023, 19:33 |
|
Неравенства
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
355 |
16 фев 2015, 21:45 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: YaCy [Bot] и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |