Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2022, 19:56 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
Может там >=?

Наверно, это именно так. Тогда становится понятно почему во втором неравенстве знак [math]\leqslant[/math], а не [math]<[/math].


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2022, 13:23 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Bloodhound писал(а):
осталось доказать обратное утверждение: что через любую точку единичной сферы можно провести плоскость указанного вида

Пусть [math](x,y,z) - \,[/math] произвольная точка, принадлежащая сфере [math]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.[/math] Нужно доказать, что существуют числа [math]a, b, c[/math] и [math]d[/math], для которых будет выполняться равенство [math]Ax+By+Cz+D=0,[/math] где [math]A=2(ac+bd),B=2(ad-bc),C=a^2+b^2-c^2-d^2, D=a^2+b^2+c^2+d^2[/math] и [math]A^2+B^2+C^2 \ne 0.[/math] Поскольку [math]A^2+B^2+C^2=D^2,[/math] то [math]D \ne 0.[/math] Будем считать, что [math]D=1.[/math] Нормальный вектор [math](A,B,C)[/math] касательной плоскости и радиус-вектор точки [math](x,y,z)[/math] длжны быть коллинеарны, то есть для некоторого числа [math]k[/math] должны выполняться равенства [math]A=kx,B=ky,C=kz.[/math] Подставляя [math]A,B,C[/math] в уравнение [math]Ax+By+Cz+1=0,[/math] находим, что [math]k=-1.[/math] Таким образом, для любых [math]x,y,z[/math] нужно найти хотя бы одно решение следующей системы уравнений

[math]ac+bd=-\frac{ x }{ 2},[/math] [math]ad-bc=-\frac{ y }{ 2},[/math] [math]a^2+b^2-c^2-d^2=- z ,[/math] [math]a^2+b^2+c^2+d^2=1.[/math]

К третьему уравнению прибавим четвёртое и поделим на два, получим уравнение [math]a^2+b^2=\frac{ 1-z }{ 2 }.[/math]

Если [math]z=1,[/math] то из уравнения сферы получаем, что [math]x=0[/math] и [math]y=0[/math]. Значит, [math]a=0, b=0, c=0, d=1[/math] будет решением системы уравнений.

Если [math]z<1,[/math] то в качестве [math]a[/math] и [math]b[/math] возьмём любое решение уравнения [math]a^2+b^2=\frac{ 1-z }{ 2 },[/math] а [math]c[/math] и [math]d[/math] найдём как решение первых двух уравнений системы уравнений.

Получим, что [math]c=\frac{ -xa+yb }{ 1-z }, d=-\frac{ ya+xb }{ 1-z }.[/math] Нетрудно убедиться, что при таких [math]a, b, c[/math] и [math]d[/math] четвёрое уравнение выполняется.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
MihailM
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неравенства

в форуме Алгебра

limbro

10

400

14 сен 2020, 17:01

Неравенства

в форуме Алгебра

raaaaawwr

1

418

28 дек 2015, 23:31

Неравенства

в форуме Тригонометрия

azad

10

560

19 сен 2017, 08:32

Неравенства

в форуме Алгебра

juliana25

19

604

11 сен 2018, 18:04

Неравенства

в форуме Алгебра

Kriteriy Silvestra

1

207

26 июн 2020, 21:03

Неравенства

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Imaginarymath

3

494

23 сен 2015, 19:46

Неравенства

в форуме Алгебра

APPEH

1

283

18 дек 2018, 01:09

Неравенства

в форуме Алгебра

Teratore

19

954

02 янв 2016, 14:55

Неравенства

в форуме Алгебра

Greecer

9

274

31 янв 2023, 19:33

Неравенства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

consigned

3

355

16 фев 2015, 21:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YaCy [Bot] и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved