Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 09:28 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильный многоугольник [math]A_1A_2\ldots A_n[/math] вписан в окружность единичного радиуса. Соответствующий круг обозначим за B.
[math]\max_{C\in \mathrm{B}}|A_1C|\cdot|A_2C|\cdot\ldots\cdot|A_nC|=?[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 14:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поместим центр круга единичного радиуса в начало координат комплексной плоскости и расположим оси так, чтобы точка [math]A_1[/math] лежала на оси х.
Тогда точке [math]A_k[/math] соответствует комплексное число [math]z=e^{i\frac{2 \pi k}{n}},[/math] где [math]y -[/math] число вершин правильного многоугольника, и пусть точке С соответствует комплексное число [math]z_k=e^{ix}.[/math]
Тогда [math]z-z_k=e^{ix}-e^{i\frac{2 \pi k}{n}},[/math] а расстояние (модуль этой разности) [math]R_k=\sqrt{\left( e^{ix}-e^{i\frac{2 \pi k}{n}} \right) \left( e^{-ix}-e^{-i\frac{2 \pi k}{n}} \right)}=\sqrt{2\left[ 1-\cos{\left( x-\frac{2 \pi k}{n}\right)}\right]}=\sqrt{2}\sin{\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi k }{n} \right) }.[/math]
Произведение всех расстояний равно [math]y=2^{n \slash 2}\prod\limits_{k=1}^{n}\sin{\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi k }{n} \right) }[/math]

Дифференцируем, приравниваем нулю и находим корни.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 14:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Поместим центр круга единичного радиуса в начало координат комплексной плоскости и расположим оси так, чтобы точка [math]A_1[/math] лежала на оси х.
Тогда точке [math]A_k[/math] соответствует комплексное число [math]z=e^{i\frac{2 \pi k}{n}},[/math] где [math]y -[/math] число вершин правильного многоугольника, и пусть точке С соответствует комплексное число [math]z_k=e^{ix}.[/math].
Не надо менять обозначения, это вносит путаницу. Число вершин уже обозначено за n. Это во-первых. Во-вторых, что значит, что точке C соответствует число [math]z_k.[/math] Индекс k как с точкой С связан? Где k в определении [math]z_k[/math]? Число x в показателе экспоненты тоже странно выглядит. Отключите генератор псевдонаучного текста плз.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 14:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кажись, 2.
Точка [math]C[/math] лежит на пересечении перпендикуляра из середины любой стороны с описанной окружностью (ближняя точка имеется в виду).
Получается [math]\prod\limits_{k=0}^{n-1} 2 \sin{( \frac{ \pi k }{ n } + \frac{ \pi }{ 2n } )} = 2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 15:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
кстати, а из чего вообще следует, что точка C должна лежать на окружности? В условии сказано "круг", если что.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 15:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel писал(а):
В условии сказано "круг", если что.

Это понятно. Из общих соображений :oops:
Если [math]C[/math] - центр круга, то искомое произведение равно [math]1[/math], Очень близко к вершинам тоже плохо, понятно произведение будет стремиться к [math]0[/math].
Я понимаю, что это не доказательство, так, попытка прокачать интуицию. )))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 15:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Не надо менять обозначения, это вносит путаницу. Число вершин уже обозначено за n.
Я и не менял, у меня число вершинт так и обозначено.
Цитата:
Во-вторых, что значит, что точке C соответствует число zk.
Это опечатка. Скопировал, а индекс удалить забыл. Точке С соответствует число z. Из дальнейшего это было видно.
Цитата:
Где k в определении zk?
См. предыдущий абзац. Следует читать [math]z=e^{ix}, z_k=e^{i\frac{2 \pi k}{n}}[/math]
Цитата:
Число x в показателе экспоненты тоже странно выглядит.
Ничуть не странно. Аргумент тригонометрических функций часто обозначают как х.
Цитата:
Отключите генератор псевдонаучного текста плз.
С чего бы это? И почему "псевдонаучного"?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 17:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
Кажись, 2.
Точка [math]C[/math] лежит на пересечении перпендикуляра из середины любой стороны с описанной окружностью (ближняя точка имеется в виду).
Получается [math]\prod\limits_{k=0}^{n-1} 2 \sin{( \frac{ \pi k }{ n } + \frac{ \pi }{ 2n } )} = 2[/math]

Ответ верный, но надо доказывать. В принципе, задача для устного счета.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 18:53 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel писал(а):
В принципе, задача для устного счета.

Я устно не могу. Вообще не вижу красивого решения, с тригонометрическими преобразованиями, и то закопался.
Относительно несложно посчитать для произвольного положения точки [math]C[/math] на окружности (и доказать, что максимум в той точке, что я выше словами описал, доказательство примерно как у Exzellenz, но без привлечения комплексных чисел, тут и со школьной планиметрией всё гладко получается). Но как просто доказать, что внутри круга в любой точке результат будет меньше - не могу сообразить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Многоугольник
СообщениеДобавлено: 23 сен 2022, 20:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Действительно, углы многоугольника это корни многочлена [math]f(z)=z^n-1=(z-z_1)\ldots(z-z_n).[/math]
По принципу максимума, максимум модуля этого многочплена
[math]|f(z)|=|z^n-1|=|z-z_1|\ldots|z-z_n|.[/math]

достигается на границе круга. Ну и ясно (по неравенству треугольника), что максимум достигается в точке [math]\tilde z[/math] такой, что [math]\tilde z^n=-1;\quad f(\tilde z)=-2.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
Booker48
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Правельный многоугольник

в форуме Геометрия

lukaluka111

9

340

29 май 2021, 15:57

Выпуклый многоугольник

в форуме Геометрия

sfanter

5

590

15 июл 2014, 18:07

НЕправильный многоугольник и его углы?

в форуме Геометрия

FunnyManWin

5

237

31 окт 2021, 11:32

Прямая, пересекающая многоугольник

в форуме Геометрия

sfanter

1

425

15 июл 2014, 09:34

Повернуть многоугольник относительно центра

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Knyazhe

1

157

06 май 2019, 14:38

ЕГЭ.Точки, выпуклый многоугольник, описанная окружность

в форуме Геометрия

ITwearsmeout

7

1265

01 окт 2016, 18:47

Построить многоугольник и вычислить значения функции z

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Evgenia9696

14

931

23 май 2014, 16:16

Может ли правильный многоугольник быть окружностью?

в форуме Геометрия

kvintovskiy

46

786

06 янв 2022, 13:46

закон распределения вероятностей, многоугольник и функцию р

в форуме Теория вероятностей

Egoradamov315

1

162

10 мар 2022, 09:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved