Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
wrobel |
|
|
[math]\max_{C\in \mathrm{B}}|A_1C|\cdot|A_2C|\cdot\ldots\cdot|A_nC|=?[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
Поместим центр круга единичного радиуса в начало координат комплексной плоскости и расположим оси так, чтобы точка [math]A_1[/math] лежала на оси х.
Тогда точке [math]A_k[/math] соответствует комплексное число [math]z=e^{i\frac{2 \pi k}{n}},[/math] где [math]y -[/math] число вершин правильного многоугольника, и пусть точке С соответствует комплексное число [math]z_k=e^{ix}.[/math] Тогда [math]z-z_k=e^{ix}-e^{i\frac{2 \pi k}{n}},[/math] а расстояние (модуль этой разности) [math]R_k=\sqrt{\left( e^{ix}-e^{i\frac{2 \pi k}{n}} \right) \left( e^{-ix}-e^{-i\frac{2 \pi k}{n}} \right)}=\sqrt{2\left[ 1-\cos{\left( x-\frac{2 \pi k}{n}\right)}\right]}=\sqrt{2}\sin{\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi k }{n} \right) }.[/math] Произведение всех расстояний равно [math]y=2^{n \slash 2}\prod\limits_{k=1}^{n}\sin{\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi k }{n} \right) }[/math] Дифференцируем, приравниваем нулю и находим корни. |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
Exzellenz писал(а): Поместим центр круга единичного радиуса в начало координат комплексной плоскости и расположим оси так, чтобы точка [math]A_1[/math] лежала на оси х. Не надо менять обозначения, это вносит путаницу. Число вершин уже обозначено за n. Это во-первых. Во-вторых, что значит, что точке C соответствует число [math]z_k.[/math] Индекс k как с точкой С связан? Где k в определении [math]z_k[/math]? Число x в показателе экспоненты тоже странно выглядит. Отключите генератор псевдонаучного текста плз.Тогда точке [math]A_k[/math] соответствует комплексное число [math]z=e^{i\frac{2 \pi k}{n}},[/math] где [math]y -[/math] число вершин правильного многоугольника, и пусть точке С соответствует комплексное число [math]z_k=e^{ix}.[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
Кажись, 2.
Точка [math]C[/math] лежит на пересечении перпендикуляра из середины любой стороны с описанной окружностью (ближняя точка имеется в виду). Получается [math]\prod\limits_{k=0}^{n-1} 2 \sin{( \frac{ \pi k }{ n } + \frac{ \pi }{ 2n } )} = 2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
кстати, а из чего вообще следует, что точка C должна лежать на окружности? В условии сказано "круг", если что.
|
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
wrobel писал(а): В условии сказано "круг", если что. Это понятно. Из общих соображений Если [math]C[/math] - центр круга, то искомое произведение равно [math]1[/math], Очень близко к вершинам тоже плохо, понятно произведение будет стремиться к [math]0[/math]. Я понимаю, что это не доказательство, так, попытка прокачать интуицию. ))) |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
Цитата: Не надо менять обозначения, это вносит путаницу. Число вершин уже обозначено за n. Я и не менял, у меня число вершинт так и обозначено.Цитата: Во-вторых, что значит, что точке C соответствует число zk. Это опечатка. Скопировал, а индекс удалить забыл. Точке С соответствует число z. Из дальнейшего это было видно.Цитата: Где k в определении zk? См. предыдущий абзац. Следует читать [math]z=e^{ix}, z_k=e^{i\frac{2 \pi k}{n}}[/math]Цитата: Число x в показателе экспоненты тоже странно выглядит. Ничуть не странно. Аргумент тригонометрических функций часто обозначают как х.Цитата: Отключите генератор псевдонаучного текста плз. С чего бы это? И почему "псевдонаучного"? |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
Booker48 писал(а): Кажись, 2. Точка [math]C[/math] лежит на пересечении перпендикуляра из середины любой стороны с описанной окружностью (ближняя точка имеется в виду). Получается [math]\prod\limits_{k=0}^{n-1} 2 \sin{( \frac{ \pi k }{ n } + \frac{ \pi }{ 2n } )} = 2[/math] Ответ верный, но надо доказывать. В принципе, задача для устного счета. |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
wrobel писал(а): В принципе, задача для устного счета. Я устно не могу. Вообще не вижу красивого решения, с тригонометрическими преобразованиями, и то закопался. Относительно несложно посчитать для произвольного положения точки [math]C[/math] на окружности (и доказать, что максимум в той точке, что я выше словами описал, доказательство примерно как у Exzellenz, но без привлечения комплексных чисел, тут и со школьной планиметрией всё гладко получается). Но как просто доказать, что внутри круга в любой точке результат будет меньше - не могу сообразить. |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
Действительно, углы многоугольника это корни многочлена [math]f(z)=z^n-1=(z-z_1)\ldots(z-z_n).[/math]
По принципу максимума, максимум модуля этого многочплена [math]|f(z)|=|z^n-1|=|z-z_1|\ldots|z-z_n|.[/math] достигается на границе круга. Ну и ясно (по неравенству треугольника), что максимум достигается в точке [math]\tilde z[/math] такой, что [math]\tilde z^n=-1;\quad f(\tilde z)=-2.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали: Booker48 |
||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Правельный многоугольник
в форуме Геометрия |
9 |
340 |
29 май 2021, 15:57 |
|
Выпуклый многоугольник
в форуме Геометрия |
5 |
590 |
15 июл 2014, 18:07 |
|
НЕправильный многоугольник и его углы?
в форуме Геометрия |
5 |
237 |
31 окт 2021, 11:32 |
|
Прямая, пересекающая многоугольник
в форуме Геометрия |
1 |
425 |
15 июл 2014, 09:34 |
|
Повернуть многоугольник относительно центра
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
157 |
06 май 2019, 14:38 |
|
ЕГЭ.Точки, выпуклый многоугольник, описанная окружность
в форуме Геометрия |
7 |
1265 |
01 окт 2016, 18:47 |
|
Построить многоугольник и вычислить значения функции z | 14 |
931 |
23 май 2014, 16:16 |
|
Может ли правильный многоугольник быть окружностью?
в форуме Геометрия |
46 |
786 |
06 янв 2022, 13:46 |
|
закон распределения вероятностей, многоугольник и функцию р
в форуме Теория вероятностей |
1 |
162 |
10 мар 2022, 09:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |