Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
searcher |
|
|
Верхнее целое [math]\left\lceil{ x }\right\rceil[/math] числа [math]x[/math] - это наименьшее целое число, которое не меньше [math]x[/math] . Доказать, что существует действительное число [math]x[/math] , такое что [math]\left\lceil{ x^n }\right\rceil[/math] отличается от ближайшего квадрата целого числа ровно на [math]2[/math] для любого натурального [math]n[/math]. У меня даже мыслей не возникло, за что тут можно зацепиться. Осталось осознать свою тупость. (Интересно, что слово "такое" в заголовке темы движок форума заблокировал). |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Думаю тут идея такая:
Почему [math]\left( \sqrt{2}-1 \right)^n[/math] все ближе к целому числу с ростом n. Только подгонять все надо. searcher писал(а): у людей, решающих олимпиадные задачи, мозги по-другому закручены Это такой некий навык по-моему, который пропадает если его не тренировать. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Кроме [math]x=\frac{{\sqrt 5 + 3}}{2}[/math] (квадрата числа Фидия) ничего на ум не приходит.
В этом случае ⌈xn⌉ равно четным числам Люка [math]L_{n}[/math] и продвинутые школьники могут знать, что они отличаются от целых квадратов [math]L_{ n \slash 2}[/math] ровно на 2. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Впрочем, это не единственный вариант, проще всего показать на [math]x=2\sqrt{2}+3[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: searcher |
||
searcher |
|
|
У меня получилось [math]\left( 2\sqrt{2}+3 \right)^2 \approx 33.97[/math] , [math]\left( \frac{ \sqrt{5}+3 }{ 2 } \right)^2 \approx 6.8541[/math] . Совсем немного не дотягивают до [math]n^2-2[/math] .
|
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Первое число при округлении до верхнего целого даёт 34, что отличается от ближайшего квадрата целого - 36 ровно на 2.
Второе число при таком округлении даёт 7, а ближайший квадрат - 9. Разве условие задачи не выполнено? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Извиняюсь, затупил.
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Li6-D писал(а): Впрочем, это не единственный вариант, проще всего показать на [math]x=2\sqrt{2}+3[/math]. Пока дошёл до следующего: [math]\left( 2\sqrt{2}+3 \right)^n=\left[ \left( 1+\sqrt{2} \right)^n \right]^2[/math]. Пусть [math]\left( 1+\sqrt{2} \right)^n=A+B\sqrt{2}[/math] . Тогда [math]\left( 2\sqrt{2}+3 \right)^n = \left( 2A \right)^2+C[/math] , где [math]A,B \in N[/math] , [math]C \in R[/math] . То что [math]1 < C < 2[/math] видимо доказывается по индукции. Продолжу позже. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
searcher, здесь такой подход: рассматривается сопряженное. Тогда сумма или разность степеней будет целым числом
▼ здесь решение
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: AGN, searcher |
||
searcher |
|
|
searcher писал(а): То что [math]1 < C < 2[/math] видимо доказывается по индукции. Продолжу позже. Тут я поторопился. Это верно для нечётных [math]n[/math] . Для чётных : [math]-3 < C < -2[/math] . Индукция какая-то заковыристая получается. Возиться не стал. Посмотрел решение от swan . Каждое действие понятно. Непонятно, как бы я сам мог додуматься до этого. Видимо мозги закостенели. Хотя и раньше любовью к олимпиадным задачам не отличался. Последний раз редактировалось searcher 05 апр 2021, 19:48, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
10 студентов решают задачу
в форуме Теория вероятностей |
7 |
249 |
25 сен 2019, 14:21 |
|
Предлагаю здесь размещать подобное
в форуме Палата №6 |
24 |
1818 |
19 фев 2015, 19:25 |
|
Одинаковые калькуляторы решают по разному
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
250 |
23 дек 2017, 22:38 |
|
Савватеевы решают уравнение с параметром
в форуме Алгебра |
8 |
269 |
04 авг 2022, 18:28 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |