Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение телесной диагонали СК
СообщениеДобавлено: 24 июн 2021, 11:18 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Где-то полгода назад вывел свою параметризацию для совершенного кубоида. Написал и запустил поисковую программу, она перебором проверяет квадрат телесной диагонали. Если решить это уравнение в натуральных параметрах [math]v[/math] и [math]y[/math], то будут известны рёбра совершенного кубоида. Уравнение имеет вид:

[math]5(k_{0}v^4-k_{1}v^3y+k_{2}v^2y^2-k_{3}vy^3+y^4)(k_{4}v^4-k_{5}v^3y+k_{6}v^2y^2-k_{3}vy^3+y^4)(k_{7}v^8-k_{8}v^7y+k_{9}v^6y^2-k_{10}v^5y^3+k_{11}v^4y^4-k_{12}v^3y^5+k_{13}v^2y^6-k_{14}vy^7+k_{15}y^8)= \Box[/math]

где:

[math]\frac{ 2 }{ 3 }(3-\sqrt{3})v<y<v[/math]

[math]v,y \in \mathbb{N}[/math]

[math]k_{0-15}[/math] - некоторые известные натуральные числа, не стал громоздить, поскольку их разрядность до четырёх десятичных разрядов.

Странно вот что: компьютер ищет решение уже в довольно приличных числах, но не находит. Мне не известны причины, по которым можно определить, что уравнение не имеет решений. Если известны вам, то укажите, пожалуйста, чтобы не тратить время на поиски.
В скобках могут быть как квадраты, так и составные числа, по крайней мере, [math]v[/math] или [math]y[/math], или оба параметра должны делиться на 5 без остатка. Это всё понятно.
Вопрос в следующем: возможно ли вывести хотя бы одно решение? Будут ли связаны ли как-то делители параметров [math]v[/math] и [math]y[/math] с коэффициентами [math]k_{0-15}[/math]? Если да, то как?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение телесной диагонали СК
СообщениеДобавлено: 24 июн 2021, 12:40 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2021, 08:50
Сообщений: 160
Откуда: Г. Владивосток
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
возможно ли вывести хотя бы одно решение?

На этот вопрос даже математики профессиональные не могут ответить. На нас, форумчан, я думаю, надеяться не стоит

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение телесной диагонали СК
СообщениеДобавлено: 24 июн 2021, 13:31 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
25 окт 2011, 19:25
Сообщений: 124
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
[math]5(k_{0}v^4-k_{1}v^3y+k_{2}v^2y^2-k_{3}vy^3+y^4)(k_{4}v^4-k_{5}v^3y+k_{6}v^2y^2-k_{3}vy^3+y^4)(k_{7}v^8-k_{8}v^7y+k_{9}v^6y^2-k_{10}v^5y^3+k_{11}v^4y^4-k_{12}v^3y^5+k_{13}v^2y^6-k_{14}vy^7+k_{15}y^8)= \Box[/math]


В скобочках у Вас однородные многочлены [math]4[/math]-й и [math]8[/math]-й степени. Почленное деление на [math]y^4[/math] и [math]y^8[/math] сводит задачу к уравнению от одной рациональной переменной [math]t=\dfrac{v}{y}[/math]. Даже если [math]k_{0-15}[/math] таковы, что произведение распадается на восемь скобок-множителей степени [math]2[/math], всё равно такая задача в рац. числах оказывается нетривиальной (сист. из восьми квадратных уравнений с одним неизвестным!).
Выход один: назначить неизвестными пару из [math]15[/math]-и коэффициентов. Если это возможно, загоняем пятерку внутрь одной из скобочек, скобочки по порядку называем [math]X,Y,Z[/math] и получаем уравнение в рациональных числах [math]XYZ=\square[/math], которое имеет общее решение: [math]X=ab,Y=bc,Z=ac[/math]. Одну из новых переменных берем за неизвестную, две у нас уже есть. Приравниваем, получаем линейную систему из [math]3[/math]-х уравнений с тремя неизвестными. Две неизвестные [math]t[/math] окажутся дробными числами, конечно, но это легко решается домножением на квадрат знаменателя. А больше не знаю как. Есть примеры попроще, в которые упирается эта штука, но простота обманчива.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andrey A "Спасибо" сказали:
3axap
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение телесной диагонали СК
СообщениеДобавлено: 24 июн 2021, 14:52 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andrey A
Благодарю) Немного не понял, для чего назначать неизвестными коэффициенты, которые известны... Я знаю, что задача сводится к рациональной переменной, как Вы показали, поскольку выводил сначала в рациональном виде и, наоборот, уходил от этого, приведя всё к общему знаменателю. Дело в том, что деление слишком медленное, и поиск быстрее и проще сразу в длинных целых. Если решение есть в рациональных, то оно есть и в целых - без разницы. Если же брать только целые значения для t, то не факт, что решение в этих значениях в требуемом диапазоне существует. Я с таким сталкивался, и не раз, исследуя другие известные параметризации. В этой мне нравится то, что здесь не единственный неприводимый многочлен, а факторизация. Это уже более вероятно, что квадрат таки возможен, по моему мнению. Хоть бы компьютер нашел решение, вот интересно будет посмотреть, каким это образом числа распределятся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение телесной диагонали СК
СообщениеДобавлено: 24 июн 2021, 16:23 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
25 окт 2011, 19:25
Сообщений: 124
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
27 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Немного не понял, для чего назначать неизвестными коэффициенты, которые известны...

Ну, я же не знаю откуда взялись эти коэффициенты. Если из сторонних источников, то конечно смысла в таких переменах нет, но и задача тогда выглядит совершенно бесперспективно. Компьютерные поиски ведутся многолетние, если решение существует, то выражается большими числами до которых... ну и т.д. Целочисленный перебор переменной [math]t[/math], понятно, толку не добавляет. Единственное, что пары [math]v,y[/math] (чтобы не дублировать вычислений) достаточно брать взаимно простые.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andrey A "Спасибо" сказали:
3axap
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение телесной диагонали СК
СообщениеДобавлено: 24 июн 2021, 18:30 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andrey A писал(а):
Ну, я же не знаю откуда взялись эти коэффициенты. Если из сторонних источников, то конечно смысла в таких переменах нет, но и задача тогда выглядит совершенно бесперспективно.

Нет, не из источников. Я сам вывел. С нуля. Конечно, все решения не охватывает, но при любых натуральных v и y в указанном диапазоне получаются эйлеровы кубоиды. Осталось ждать, когда при переборе квадрат главной диагонали будет полным. Числа, естественно, колоссальные...

Math-possessed писал(а):
На этот вопрос даже математики профессиональные не могут ответить. На нас, форумчан, я думаю, надеяться не стоит

Я понимаю, написал в надежде, что кто-нибудь на что-нибудь намекнёт, например, касаемо коэффициентов или делителей параметров и т.п...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение телесной диагонали СК
СообщениеДобавлено: 26 июн 2021, 01:34 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Запарился, конечно, вычислять: пришлось этот полином ещё домножить на 6103515625, чтобы разместить между двух последовательных квадратов. Получилось, что квадрат диагонали лежит между двух последовательных квадратов при [math]t>5.88689443... \times 10^8[/math], то есть, только в этом случае полным квадратом не является. До этого значения оно может быть полным квадратом. Я, конечно, проверю целые значения t до 589 миллионов, а вдруг) Для параметров v и y возможностей вообще бесконечно много... Их тоже программа перебирает.
Диапазон же в начале темы был определён для положительных рёбер.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти уравнение второй диагонали ромба и сторон

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

butoxors

4

981

01 янв 2015, 19:31

Уравнение прямой проходящей через вершину вдоль диагонали

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Viktorya

5

302

23 окт 2022, 21:54

Диагонали

в форуме Геометрия

Oliva

18

701

08 мар 2016, 13:54

Диагонали трапеции

в форуме Геометрия

ferimagyut

1

159

26 фев 2022, 09:38

Диагонали параллелограмма

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Asm0dei

4

351

17 дек 2017, 23:38

Диагонали в параллелограмме

в форуме Геометрия

sfanter

0

283

13 окт 2014, 10:39

Задача о диагонали прямоугольника

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Laind

3

1301

26 июл 2016, 14:05

Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной

в форуме Алгебра

Lana67

1

637

26 янв 2017, 18:44

Найти две точки на диагонали четырехугольника

в форуме Геометрия

manush

5

249

14 мар 2022, 17:46

Деление диагонали секущей плоскостью

в форуме Геометрия

dyadra

10

376

28 окт 2019, 16:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved