Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
3axap |
|
|
[math]5(k_{0}v^4-k_{1}v^3y+k_{2}v^2y^2-k_{3}vy^3+y^4)(k_{4}v^4-k_{5}v^3y+k_{6}v^2y^2-k_{3}vy^3+y^4)(k_{7}v^8-k_{8}v^7y+k_{9}v^6y^2-k_{10}v^5y^3+k_{11}v^4y^4-k_{12}v^3y^5+k_{13}v^2y^6-k_{14}vy^7+k_{15}y^8)= \Box[/math] где: [math]\frac{ 2 }{ 3 }(3-\sqrt{3})v<y<v[/math] [math]v,y \in \mathbb{N}[/math] [math]k_{0-15}[/math] - некоторые известные натуральные числа, не стал громоздить, поскольку их разрядность до четырёх десятичных разрядов. Странно вот что: компьютер ищет решение уже в довольно приличных числах, но не находит. Мне не известны причины, по которым можно определить, что уравнение не имеет решений. Если известны вам, то укажите, пожалуйста, чтобы не тратить время на поиски. В скобках могут быть как квадраты, так и составные числа, по крайней мере, [math]v[/math] или [math]y[/math], или оба параметра должны делиться на 5 без остатка. Это всё понятно. Вопрос в следующем: возможно ли вывести хотя бы одно решение? Будут ли связаны ли как-то делители параметров [math]v[/math] и [math]y[/math] с коэффициентами [math]k_{0-15}[/math]? Если да, то как? |
||
Вернуться к началу | ||
Math-possessed |
|
|
3axap писал(а): возможно ли вывести хотя бы одно решение? На этот вопрос даже математики профессиональные не могут ответить. На нас, форумчан, я думаю, надеяться не стоит |
||
Вернуться к началу | ||
Andrey A |
|
|
3axap писал(а): [math]5(k_{0}v^4-k_{1}v^3y+k_{2}v^2y^2-k_{3}vy^3+y^4)(k_{4}v^4-k_{5}v^3y+k_{6}v^2y^2-k_{3}vy^3+y^4)(k_{7}v^8-k_{8}v^7y+k_{9}v^6y^2-k_{10}v^5y^3+k_{11}v^4y^4-k_{12}v^3y^5+k_{13}v^2y^6-k_{14}vy^7+k_{15}y^8)= \Box[/math] В скобочках у Вас однородные многочлены [math]4[/math]-й и [math]8[/math]-й степени. Почленное деление на [math]y^4[/math] и [math]y^8[/math] сводит задачу к уравнению от одной рациональной переменной [math]t=\dfrac{v}{y}[/math]. Даже если [math]k_{0-15}[/math] таковы, что произведение распадается на восемь скобок-множителей степени [math]2[/math], всё равно такая задача в рац. числах оказывается нетривиальной (сист. из восьми квадратных уравнений с одним неизвестным!). Выход один: назначить неизвестными пару из [math]15[/math]-и коэффициентов. Если это возможно, загоняем пятерку внутрь одной из скобочек, скобочки по порядку называем [math]X,Y,Z[/math] и получаем уравнение в рациональных числах [math]XYZ=\square[/math], которое имеет общее решение: [math]X=ab,Y=bc,Z=ac[/math]. Одну из новых переменных берем за неизвестную, две у нас уже есть. Приравниваем, получаем линейную систему из [math]3[/math]-х уравнений с тремя неизвестными. Две неизвестные [math]t[/math] окажутся дробными числами, конечно, но это легко решается домножением на квадрат знаменателя. А больше не знаю как. Есть примеры попроще, в которые упирается эта штука, но простота обманчива. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andrey A "Спасибо" сказали: 3axap |
||
3axap |
|
|
Andrey A
Благодарю) Немного не понял, для чего назначать неизвестными коэффициенты, которые известны... Я знаю, что задача сводится к рациональной переменной, как Вы показали, поскольку выводил сначала в рациональном виде и, наоборот, уходил от этого, приведя всё к общему знаменателю. Дело в том, что деление слишком медленное, и поиск быстрее и проще сразу в длинных целых. Если решение есть в рациональных, то оно есть и в целых - без разницы. Если же брать только целые значения для t, то не факт, что решение в этих значениях в требуемом диапазоне существует. Я с таким сталкивался, и не раз, исследуя другие известные параметризации. В этой мне нравится то, что здесь не единственный неприводимый многочлен, а факторизация. Это уже более вероятно, что квадрат таки возможен, по моему мнению. Хоть бы компьютер нашел решение, вот интересно будет посмотреть, каким это образом числа распределятся. |
||
Вернуться к началу | ||
Andrey A |
|
|
3axap писал(а): Немного не понял, для чего назначать неизвестными коэффициенты, которые известны... Ну, я же не знаю откуда взялись эти коэффициенты. Если из сторонних источников, то конечно смысла в таких переменах нет, но и задача тогда выглядит совершенно бесперспективно. Компьютерные поиски ведутся многолетние, если решение существует, то выражается большими числами до которых... ну и т.д. Целочисленный перебор переменной [math]t[/math], понятно, толку не добавляет. Единственное, что пары [math]v,y[/math] (чтобы не дублировать вычислений) достаточно брать взаимно простые. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andrey A "Спасибо" сказали: 3axap |
||
3axap |
|
|
Andrey A писал(а): Ну, я же не знаю откуда взялись эти коэффициенты. Если из сторонних источников, то конечно смысла в таких переменах нет, но и задача тогда выглядит совершенно бесперспективно. Нет, не из источников. Я сам вывел. С нуля. Конечно, все решения не охватывает, но при любых натуральных v и y в указанном диапазоне получаются эйлеровы кубоиды. Осталось ждать, когда при переборе квадрат главной диагонали будет полным. Числа, естественно, колоссальные... Math-possessed писал(а): На этот вопрос даже математики профессиональные не могут ответить. На нас, форумчан, я думаю, надеяться не стоит Я понимаю, написал в надежде, что кто-нибудь на что-нибудь намекнёт, например, касаемо коэффициентов или делителей параметров и т.п... |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Запарился, конечно, вычислять: пришлось этот полином ещё домножить на 6103515625, чтобы разместить между двух последовательных квадратов. Получилось, что квадрат диагонали лежит между двух последовательных квадратов при [math]t>5.88689443... \times 10^8[/math], то есть, только в этом случае полным квадратом не является. До этого значения оно может быть полным квадратом. Я, конечно, проверю целые значения t до 589 миллионов, а вдруг) Для параметров v и y возможностей вообще бесконечно много... Их тоже программа перебирает.
Диапазон же в начале темы был определён для положительных рёбер. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти уравнение второй диагонали ромба и сторон | 4 |
981 |
01 янв 2015, 19:31 |
|
Уравнение прямой проходящей через вершину вдоль диагонали | 5 |
302 |
23 окт 2022, 21:54 |
|
Диагонали
в форуме Геометрия |
18 |
701 |
08 мар 2016, 13:54 |
|
Диагонали трапеции
в форуме Геометрия |
1 |
159 |
26 фев 2022, 09:38 |
|
Диагонали параллелограмма | 4 |
351 |
17 дек 2017, 23:38 |
|
Диагонали в параллелограмме
в форуме Геометрия |
0 |
283 |
13 окт 2014, 10:39 |
|
Задача о диагонали прямоугольника | 3 |
1301 |
26 июл 2016, 14:05 |
|
Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной
в форуме Алгебра |
1 |
637 |
26 янв 2017, 18:44 |
|
Найти две точки на диагонали четырехугольника
в форуме Геометрия |
5 |
249 |
14 мар 2022, 17:46 |
|
Деление диагонали секущей плоскостью
в форуме Геометрия |
10 |
376 |
28 окт 2019, 16:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |