Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 8 |
[ Сообщений: 71 ] | На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
VolBorN |
|
|
[math]1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2[/math]. Проверил справедливость этого тождества до n=6 или 7. Чувствую, что оно справедливо для любого n, но как это доказать? Последний раз редактировалось VolBorN 01 дек 2010, 13:12, всего редактировалось 3 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
полагаю подобные вещи доказываются методом математической индукции.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: VolBorN |
||
Ellipsoid |
|
|
При [math]n=1[/math] истинно.
Предположим, что при [math]n=k[/math] истинно: [math]1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2[/math]. Тогда при [math]n=k+1[/math] имеем: [math]1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=[(1+2+...+k)+(k+1)]^2[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math](1+2+...+k)^2+(k+1)^3=[(1+2+...+k)+(k+1)]^2[/math]. Используя формулу разности квадратов, получим: [math](k+1)^3=(k+1)^2+2(k+1)(1+2+...+k)[/math]. Не знаю, можно ли примерять индукцию второй раз? Если да, то последнее равенство легко доказывается. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали: VolBorN |
||
VolBorN |
|
|
Если приведенное равенство справедливо, то его можно интерпретировать геометрически. Для этого:
1.Строим квадрат с длиной стороны а=(1+2+…+n). 2.Сторону квадрата разбиваем на отрезки. Их длины: 1, 2, …, n. 3.Считаем, что каждый отрезок по п.2 – это ребро куба. 4.Строим для каждого ребра куба по п.3 – куб. Получается, что площадь квадрата по п.1 численно равна сумме объёмов кубов по п.4. Если одна из граней каждого куба принадлежит плоскости квадрата, то совокупность кубов представляет собой лестницу. Высота ступеньки лестницы (между соседними кубами) будет равна 1. Последний раз редактировалось VolBorN 02 дек 2010, 16:32, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Интереснее найти произвольные целые числа а, b, c, d, ... (не обязательно все различные), сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.
|
||
Вернуться к началу | ||
VolBorN |
|
|
Рассмотрим ряд:
k, 2k, …, nk. (1). Сумма кубов членов этого ряда [math]V=k^3S[/math], где S – сумма кубов членов ряда: 1, 2, …, n, (2) или, что тоже самое, S – квадрат суммы членов ряда (2). Квадрат суммы членов ряда (1) равен [math]P=k^2S[/math]. Очевидно, что при k>1, V>P, при k<1, V<P, а при k=1, V=P=S. Последний раз редактировалось VolBorN 02 дек 2010, 17:25, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Alexdemath писал(а): Интереснее найти произвольные целые числа а, b, c, d, ... (не обязательно все различные), сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы. Например [math]n[/math] натуральных чисел, каждое из которых равно [math]n[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Prokop писал(а): Alexdemath писал(а): Интереснее найти произвольные целые числа а, b, c, d, ... (не обязательно все различные), сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы. Например [math]n[/math] натуральных чисел, каждое из которых равно [math]n[/math]. Есть простой алгоритм нахождения некоторых таких чисел. Возьмем, например, число 6, у него 4 делителя: 1; 2; 3; 6, у единицы 1 делитель, у двойки 2 делителя, у тройки 2 делителя, у шестерки 4 делителя - вот эти делители и будут числами, сумма кубов которых равна квадрату их суммы: [math]1^3+2^3+2^3+4^3=(1+2+2+4)^2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Prokop |
||
Prokop |
|
|
Как можно до такого дойти? Никогда не чувствовал этой науки. Мистика какая-то.
|
||
Вернуться к началу | ||
VolBorN |
|
|
"Возьмем, например, число 6, у него 4 делителя... "
Почему именно 6? Ведь, в конечном итоге, точно такой же набор чисел: 1, 2, 2, 4 (для суммы кубов и квадрата суммы), имел бы место, если бы в качестве исходного числа для поиска делителей было выбрано число 10 (с делителями 1, 2, 5, 10), или число 15 (с делителями 1, 3, 5, 15), или число 21 (с делителями 1, 3, 7, 21) и т.д. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8 След. | [ Сообщений: 71 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Формула суммы трёх квадратов равна четвёртому квадрату
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
26 |
845 |
10 июл 2022, 18:16 |
|
Доказать неравенство суммы кубов
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
1012 |
28 май 2015, 01:25 |
|
Доказать, что сумма приращений равна разности первообразной
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
193 |
02 июл 2020, 14:39 |
|
Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна четвертая степен
в форуме Теория чисел |
1 |
320 |
01 апр 2020, 14:23 |
|
Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу
в форуме Теория чисел |
5 |
934 |
14 мар 2017, 22:00 |
|
Доказать кратность дискриминанта квадрату коэффициента | 5 |
1605 |
17 окт 2018, 16:00 |
|
Опять сумма кубов
в форуме Алгебра |
6 |
502 |
19 янв 2018, 07:09 |
|
Сумма трех кубов | 13 |
34748 |
31 мар 2019, 16:53 |
|
Сумма кубов - для отвода глаз?
в форуме Алгебра |
7 |
532 |
16 янв 2018, 18:08 |
|
Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля) | 1 |
307 |
10 фев 2017, 19:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |