Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 71 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма кубов равна квадрату суммы - как это доказать?
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2010, 20:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 ноя 2010, 20:15
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Когда-то ещё в школе (в 50-е годы) я, развлекаясь, случайно убедился в том, что сумма кубов натуральных чисел от 1 до n (всего n слагаемых) равна квадрату суммы этих чисел, т.е.

[math]1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2[/math].

Проверил справедливость этого тождества до n=6 или 7. Чувствую, что оно справедливо для любого n, но как это доказать?


Последний раз редактировалось VolBorN 01 дек 2010, 13:12, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2010, 21:32 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
полагаю подобные вещи доказываются методом математической индукции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
VolBorN
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2010, 21:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При [math]n=1[/math] истинно.
Предположим, что при [math]n=k[/math] истинно: [math]1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2[/math].
Тогда при [math]n=k+1[/math] имеем: [math]1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=[(1+2+...+k)+(k+1)]^2[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math](1+2+...+k)^2+(k+1)^3=[(1+2+...+k)+(k+1)]^2[/math]. Используя формулу разности квадратов, получим: [math](k+1)^3=(k+1)^2+2(k+1)(1+2+...+k)[/math]. Не знаю, можно ли примерять индукцию второй раз? Если да, то последнее равенство легко доказывается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
VolBorN
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 01 дек 2010, 14:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 ноя 2010, 20:15
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если приведенное равенство справедливо, то его можно интерпретировать геометрически. Для этого:
1.Строим квадрат с длиной стороны а=(1+2+…+n).
2.Сторону квадрата разбиваем на отрезки. Их длины: 1, 2, …, n.
3.Считаем, что каждый отрезок по п.2 – это ребро куба.
4.Строим для каждого ребра куба по п.3 – куб.
Получается, что площадь квадрата по п.1 численно равна сумме объёмов кубов по п.4.
Если одна из граней каждого куба принадлежит плоскости квадрата, то совокупность кубов представляет собой лестницу. Высота ступеньки лестницы (между соседними кубами) будет равна 1.


Последний раз редактировалось VolBorN 02 дек 2010, 16:32, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 01 дек 2010, 15:10 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интереснее найти произвольные целые числа а, b, c, d, ... (не обязательно все различные), сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.

:D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 02 дек 2010, 15:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 ноя 2010, 20:15
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим ряд:
k, 2k, …, nk. (1).
Сумма кубов членов этого ряда [math]V=k^3S[/math], где S – сумма кубов членов ряда:
1, 2, …, n, (2)
или, что тоже самое, S – квадрат суммы членов ряда (2).
Квадрат суммы членов ряда (1) равен [math]P=k^2S[/math].
Очевидно, что при k>1, V>P, при k<1, V<P, а при k=1, V=P=S.


Последний раз редактировалось VolBorN 02 дек 2010, 17:25, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 02 дек 2010, 17:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Интереснее найти произвольные целые числа а, b, c, d, ... (не обязательно все различные), сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.
:D1

Например [math]n[/math] натуральных чисел, каждое из которых равно [math]n[/math]. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 02 дек 2010, 17:50 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Alexdemath писал(а):
Интереснее найти произвольные целые числа а, b, c, d, ... (не обязательно все различные), сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.
:D1

Например [math]n[/math] натуральных чисел, каждое из которых равно [math]n[/math]. :)

Есть простой алгоритм нахождения некоторых таких чисел.

Возьмем, например, число 6, у него 4 делителя: 1; 2; 3; 6, у единицы 1 делитель, у двойки 2 делителя, у тройки 2 делителя, у шестерки 4 делителя - вот эти делители и будут числами, сумма кубов которых равна квадрату их суммы:

[math]1^3+2^3+2^3+4^3=(1+2+2+4)^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Prokop
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 02 дек 2010, 18:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как можно до такого дойти? Никогда не чувствовал этой науки. Мистика какая-то.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?
СообщениеДобавлено: 02 дек 2010, 23:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 ноя 2010, 20:15
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Возьмем, например, число 6, у него 4 делителя... "

Почему именно 6? Ведь, в конечном итоге, точно такой же набор чисел: 1, 2, 2, 4 (для суммы кубов и квадрата суммы), имел бы место, если бы в качестве исходного числа для поиска делителей было выбрано число 10 (с делителями 1, 2, 5, 10), или число 15 (с делителями 1, 3, 5, 15), или число 21 (с делителями 1, 3, 7, 21) и т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.  Страница 1 из 8 [ Сообщений: 71 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Формула суммы трёх квадратов равна четвёртому квадрату

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Serdyukruslan

26

845

10 июл 2022, 18:16

Доказать неравенство суммы кубов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mathhelp

4

1012

28 май 2015, 01:25

Доказать, что сумма приращений равна разности первообразной

в форуме Интегральное исчисление

mathematic_x

1

193

02 июл 2020, 14:39

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна четвертая степен

в форуме Теория чисел

Phenol

1

320

01 апр 2020, 14:23

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу

в форуме Теория чисел

johnson

5

934

14 мар 2017, 22:00

Доказать кратность дискриминанта квадрату коэффициента

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Zeuszeus

5

1605

17 окт 2018, 16:00

Опять сумма кубов

в форуме Алгебра

alekscooper

6

502

19 янв 2018, 07:09

Сумма трех кубов

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

bimol

13

34748

31 мар 2019, 16:53

Сумма кубов - для отвода глаз?

в форуме Алгебра

alekscooper

7

532

16 янв 2018, 18:08

Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ROFLail

1

307

10 фев 2017, 19:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved