На цепях среди столбов не видать ничьих следов

Гуляет байка, что на собеседовании в Амазон предлагали задачу:
«Кабель длиной 80 метров висит на двух столбах.
Высота каждого столба — 50 метров.
Каково расстояние между столбами d, если центр провисающего кабеля находится:
а) на высоте 20 метров от земли — вариант для технарей;
б) на высоте 10 метров от земли — вариант для гуманитариев.»
https://thecode.media/amazon/
Технарь должен ответить: [math]d = \frac{{{L^2}-{b^2}}}{b}\cdot \ln \left({\frac{{L + b}}{{L - b}}}\right) = \frac{{70}}{3}\ln 7 ={\text{45}}{\text{,40457}}\;{\text{m}}[/math] (кабель принимает форму цепной линии), где [math]L = \frac{{80}}{2}= 40;\;b = 50 - 20\; = 30\;m[/math],
гуманитарию следует решить [math]d = 0\;m[/math] (сложенный вдвое кабель).
В любом случае форма кабеля такова, что его потенциальная энергия наименьшая из всех возможных (считаем кабель идеальной цепью с равномерной плотностью и без сопротивления изгибу).

Не все являются технарями или гуманитариями, есть люди промежуточного склада ума.
Вот для них и предлагаю среднюю по сложности задачу, также имеющую точное решение:
Цепь длиной 80 метров провисает на 35 метров относительно верха столбов.
Кроме того, она может гнуться только в пяти точках без учета точек подвеса.
В остальных точках цепь прямолинейна, то есть она представляет собой ломаную как рисунке.
Нужно найти расстояние между столбами.
Цепь идеальна, поэтому точки изгиба старайтесь выбирать так, чтобы потенциальная энергия цепи была наименьшей.

Задача интересная, но что то сразу решение в голову не приходит. Систему уравнений нужно писать?

Emphatic18
Думаю, совсем без уравнений не обойтись.
Например, я их составлял и в результате получаются довольно простые формулы и геометрия.
Трудно поверить, по самому нижнему правому или левому отрезку симметричной цепи с четным числом звеньев можно построить циркулем и линейкой всю цепь!
Задача возникла не только по мотиву упомянутой байки, но и одной моих заглохших тем (увы, превратилась в блог).

Я вот это не понял - длины звеньев заранее заданы, или решатель сам должен их определить из каких-то конкретных соображений? Или длины звеньев косвенно определены тем, что провис именно 35 метров? Звенья попарно равны?

ferma-T
Длины звеньев не фиксированы, выбирайте какие хотите, при условии сохранения общей длины цепи 2L.
При этом обеспечьте заданное провисание b среднего шарнира 3 и минимизуйте потенциальную энергию всей цепи, как в задаче от Амазон.
Промежуточные шарниры 1,2,3,4,5 назовем "жидкими" - они позволяют не только взаимный поворот отрезков, но и не препятствуют "перетеканию" части одного прямолинейного отрезка в соответствующую часть другого. Почти без ограничений!

Не очень разбираюсь в вариационных задачах, поэтому просто выскажусь. По логике, концы отрезков лежат на цепной линии, то есть на уравнение линии они не влияют. Уравнение задаётся гиперболическим косинусом, и там ещё участвует параметр. Получается, для вычисления расстояния между столбами нам надо решить уравнение относительно x, зная, что y=50, параметр равен 15. Тогда вариантов длин отрезков будет бесконечно много.

Я пока за решение этой задачи не брался, если не считать нескольких 10-секундных размышлений, но я тоже думал, что, так или иначе, ломанная из звеньев должна быть привязана к "цепной" функции. Но тогда возникает проблема: цепная линия - это однородная цепь с постоянной линейной плотностью вдоль её траектории. А вы предлагаете заменить сегменты разной кривизны на прямые отрезки. Но тогда отрезки над теми сегментами, у которых кривизна больше (это ближе к низу), будут иметь бОльшую плотность, чем отрезки над менее кривыми сегменты (которые ближе к верху).

Мне кажется, что отрезки не имеют кривизны. У них наклон. Плотность будет одинаковой, больше у них(у верхних) будет масса, которая пропорциональна их длине.

[math]L_1+L_2+L_3=40[/math]
[math]L_1\cos(\alpha_1)+L_2\cos(\alpha_2) +L_3\cos(\alpha_3)=35[/math]
[math]\frac{L_1^2(1-\cos(\alpha_1))+L_2^2(1-\cos(\alpha_2)) +L_3^2(1-\cos(\alpha_3))}{2}=min[/math]
[math]\frac{x}{2}=L_1\sin(\alpha_1)+L_2\sin(\alpha_2) +L_3\sin(\alpha_3)[/math]
Уравнения 3, а неизвестных 6.

Немного додумал третье уравнение:
[math]\frac{L_1^2(1-\cos(\alpha_1))+L_2(L_2(1-\cos(\alpha_2)) + L_1(1-\cos(\alpha_1))) +L_3(L_3(1-\cos(\alpha_3))+ L_1(1-\cos(\alpha_1)) +(L_2(1-\cos(\alpha_2)))}{2}=min[/math]