Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Момент инерции для куба
СообщениеДобавлено: 26 мар 2023, 12:28 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 ноя 2022, 20:05
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно найти момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс куба, так что плотность задается:
[math]\boldsymbol{\rho} (x)[/math]= [math]\boldsymbol{\beta} *( \boldsymbol{l} - \boldsymbol{x} )* \boldsymbol{x}[/math]. Как я понимаю, то нужно сжать куб к квадрата и так найти момент инерции, то есть надо найти dm исходя из формулы
[math]\int \boldsymbol{r} ^{2}* \boldsymbol{d} \boldsymbol{m}[/math]. Вопрос в тому как найти dm, если сжать к квадрату.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Момент инерции для куба
СообщениеДобавлено: 26 мар 2023, 13:25 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 926
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
362 раз в 340 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Что такое [math]l[/math]?
2. Что такое [math]x[/math]?
3. Как проходит ось вращения (перпендикулярно грани, по диагонали, еще как-то)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Момент инерции для куба
СообщениеДобавлено: 26 мар 2023, 13:30 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 ноя 2022, 20:05
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот здесь есть фото куба. https://ltdfoto.ru/image/idGZDC. l - это сторона куба

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Момент инерции для куба
СообщениеДобавлено: 26 мар 2023, 13:47 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 926
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
362 раз в 340 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
carti539,
если я правильно понял картинку, то задача сводится к нахождению момента инерции тонкой однородной квадратной пластины относительно оси, проходящей через ее центр и перпендикулярно ее плоскости. В Инете наверняка полно подобных выводов.
Найдя момент инерции для квадрата [math]I(x)[/math], далее нужно будет проинтегрировать от [math]0[/math] до [math]l[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Момент инерции для куба
СообщениеДобавлено: 26 мар 2023, 16:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1066
Cпасибо сказано: 71
Спасибо получено:
345 раз в 330 сообщениях
Очков репутации: 75

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\boldsymbol{I} _{ \boldsymbol{x} } = \iiint\limits_{ \mathsf{V} } \rho \cdot \mathsf{r} _{ \mathsf{o} \mathsf{x} }^{2} \cdot \mathsf{d} \mathsf{V} = \iint\limits_{ \mathsf{S} } \mathsf{r} _{ \mathsf{o} \mathsf{x} }^{2}\left( \int\limits_{0}^{ \boldsymbol{l} } \beta \cdot \left( \boldsymbol{l} - \mathsf{ x} \right)\cdot \mathsf{x} \cdot \mathsf{d} \mathsf{x} \right) \cdot \mathsf{d} \mathsf{S} = \frac{ \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{3} }{ 6} \cdot \iint\limits_{ \mathsf{S} } \mathsf{r} _{ \mathsf{o} \mathsf{x} }^{2} \mathsf{d} \mathsf{S} =[/math]

[math]\mathsf{S} \,\colon - \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 } \leqslant \mathsf{y} \leqslant \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 },- \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 } \leqslant \mathsf{z} \leqslant \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 }.[/math]
Переходим к полярным координатам и берём интеграл по 1/8 квадрата ( по треугольнику), компенсируя это множителем 8.

[math]= \frac{ \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{3} }{ 6 } \cdot 8 \cdot \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 4 } }\left( \int\limits_{0}^{\frac{ \boldsymbol{l} }{ 2\cos{ \varphi } } } \mathsf{r} ^{2} \cdot \mathsf{r} \cdot \mathsf{d} \mathsf{r} \right) \mathsf{d} \varphi = \frac{ 4 \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{3} }{ 3 } \cdot \frac{ 1 }{ 4 } \cdot \left( \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 } \right)^{4} \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 4 } }\frac{ \mathsf{d} \varphi }{ \cos{ \varphi}^{4} } = \frac{ \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{7} }{ 48 } \cdot \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 4 } }\left( 1+ \operatorname{tg}{ \varphi }^{2} \right) \cdot \mathsf{d} \operatorname{tg}{ \varphi } = \frac{ \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{7} }{ 36 }.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Момент инерции для куба
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 01:32 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 926
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
362 раз в 340 сообщениях
Очков репутации: 108

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Можно так сделать.
В сечении, перпендикулярном [math]X[/math], получим однородный квадрат. Его момент инерции относительно оси [math]X[/math] равен:
[math]I_0=\int {dmr^2}=\int {(u^2+v^2)dm}=\int {u^2dm}+\int {v^2dm}=I_U+I_V[/math], где
[math]I_U[/math] и [math]I_V[/math] – моменты инерции относительно осей [math]U[/math] и [math]V[/math].
Очевидно, [math]I_U=I_V=\frac{ml^2}{12}\;\; \Rightarrow
\;\; I_0=2I_U=2I_V=\frac{ml^2}{6},\;\; m[/math]
– масса квадрата в сечении.
(Момент инерции тонкого однородного квадрата относительно [math]U[/math] или [math]V[/math] находится ну совсем просто. А можно и в Инете посмотреть.)

[math]dI_X=dI_0=\frac{dM\cdot l^2}{6}=\frac{\rho(x)dv\cdot l^2}{6}=\Bigg|\; dv=l^2dx \;\Bigg|=\frac{l^4\cdot\beta x(l-x)dx}{6};[/math]

[math]I_X=\frac{\beta l^4}{6}\int\limits_{0}^{l}{x(l-x)dx}=
\frac{\beta l^4}{6}\left( \frac{lx^2}{2}-\frac{x^3}{3} \right)\Bigg|_0^l =
\frac{\beta l^4}{6}\left(\frac{l^3}{2}-\frac{l^3}{3} \right)=
\frac{\beta l^7}{36};[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MurChik "Спасибо" сказали:
carti539
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Момент инерции

в форуме Интегральное исчисление

MAKSUS_87

15

690

21 апр 2014, 17:16

Момент инерции

в форуме Интегральное исчисление

Adel2015

1

374

23 фев 2017, 20:31

Момент инерции

в форуме Интегральное исчисление

Student1

4

591

16 янв 2015, 21:50

Момент инерции

в форуме Механика

Tote_Hoffnung

1

259

20 дек 2020, 16:59

Момент инерции

в форуме Интегральное исчисление

ExtreMaLLlka

1

190

21 май 2017, 23:33

Момент инерции

в форуме Интегральное исчисление

maksustoff

0

245

23 май 2016, 21:34

Момент инерции

в форуме Механика

Zed

3

760

17 май 2015, 11:42

Момент инерции стержня

в форуме Механика

kamenniy_ostrov

2

406

14 июн 2015, 22:46

Момент инерции стержня

в форуме Механика

SkiFach

1

225

05 ноя 2019, 23:17

Найти момент инерции

в форуме Механика

crazymadman18

0

293

27 май 2018, 16:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: pirog и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved