Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
carti539 |
|
|
[math]\boldsymbol{\rho} (x)[/math]= [math]\boldsymbol{\beta} *( \boldsymbol{l} - \boldsymbol{x} )* \boldsymbol{x}[/math]. Как я понимаю, то нужно сжать куб к квадрата и так найти момент инерции, то есть надо найти dm исходя из формулы [math]\int \boldsymbol{r} ^{2}* \boldsymbol{d} \boldsymbol{m}[/math]. Вопрос в тому как найти dm, если сжать к квадрату. |
||
Вернуться к началу | ||
MurChik |
|
|
1. Что такое [math]l[/math]?
2. Что такое [math]x[/math]? 3. Как проходит ось вращения (перпендикулярно грани, по диагонали, еще как-то)? |
||
Вернуться к началу | ||
carti539 |
|
|
Вот здесь есть фото куба. https://ltdfoto.ru/image/idGZDC. l - это сторона куба
|
||
Вернуться к началу | ||
MurChik |
|
|
carti539,
если я правильно понял картинку, то задача сводится к нахождению момента инерции тонкой однородной квадратной пластины относительно оси, проходящей через ее центр и перпендикулярно ее плоскости. В Инете наверняка полно подобных выводов. Найдя момент инерции для квадрата [math]I(x)[/math], далее нужно будет проинтегрировать от [math]0[/math] до [math]l[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
revos |
|
|
[math]\boldsymbol{I} _{ \boldsymbol{x} } = \iiint\limits_{ \mathsf{V} } \rho \cdot \mathsf{r} _{ \mathsf{o} \mathsf{x} }^{2} \cdot \mathsf{d} \mathsf{V} = \iint\limits_{ \mathsf{S} } \mathsf{r} _{ \mathsf{o} \mathsf{x} }^{2}\left( \int\limits_{0}^{ \boldsymbol{l} } \beta \cdot \left( \boldsymbol{l} - \mathsf{ x} \right)\cdot \mathsf{x} \cdot \mathsf{d} \mathsf{x} \right) \cdot \mathsf{d} \mathsf{S} = \frac{ \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{3} }{ 6} \cdot \iint\limits_{ \mathsf{S} } \mathsf{r} _{ \mathsf{o} \mathsf{x} }^{2} \mathsf{d} \mathsf{S} =[/math]
[math]\mathsf{S} \,\colon - \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 } \leqslant \mathsf{y} \leqslant \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 },- \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 } \leqslant \mathsf{z} \leqslant \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 }.[/math] Переходим к полярным координатам и берём интеграл по 1/8 квадрата ( по треугольнику), компенсируя это множителем 8. [math]= \frac{ \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{3} }{ 6 } \cdot 8 \cdot \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 4 } }\left( \int\limits_{0}^{\frac{ \boldsymbol{l} }{ 2\cos{ \varphi } } } \mathsf{r} ^{2} \cdot \mathsf{r} \cdot \mathsf{d} \mathsf{r} \right) \mathsf{d} \varphi = \frac{ 4 \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{3} }{ 3 } \cdot \frac{ 1 }{ 4 } \cdot \left( \frac{ \boldsymbol{l} }{ 2 } \right)^{4} \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 4 } }\frac{ \mathsf{d} \varphi }{ \cos{ \varphi}^{4} } = \frac{ \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{7} }{ 48 } \cdot \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 4 } }\left( 1+ \operatorname{tg}{ \varphi }^{2} \right) \cdot \mathsf{d} \operatorname{tg}{ \varphi } = \frac{ \beta \cdot \boldsymbol{l} ^{7} }{ 36 }.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
MurChik |
|
|
Можно так сделать. В сечении, перпендикулярном [math]X[/math], получим однородный квадрат. Его момент инерции относительно оси [math]X[/math] равен: [math]I_0=\int {dmr^2}=\int {(u^2+v^2)dm}=\int {u^2dm}+\int {v^2dm}=I_U+I_V[/math], где [math]I_U[/math] и [math]I_V[/math] – моменты инерции относительно осей [math]U[/math] и [math]V[/math]. Очевидно, [math]I_U=I_V=\frac{ml^2}{12}\;\; \Rightarrow \;\; I_0=2I_U=2I_V=\frac{ml^2}{6},\;\; m[/math] – масса квадрата в сечении. (Момент инерции тонкого однородного квадрата относительно [math]U[/math] или [math]V[/math] находится ну совсем просто. А можно и в Инете посмотреть.) [math]dI_X=dI_0=\frac{dM\cdot l^2}{6}=\frac{\rho(x)dv\cdot l^2}{6}=\Bigg|\; dv=l^2dx \;\Bigg|=\frac{l^4\cdot\beta x(l-x)dx}{6};[/math] [math]I_X=\frac{\beta l^4}{6}\int\limits_{0}^{l}{x(l-x)dx}= \frac{\beta l^4}{6}\left( \frac{lx^2}{2}-\frac{x^3}{3} \right)\Bigg|_0^l = \frac{\beta l^4}{6}\left(\frac{l^3}{2}-\frac{l^3}{3} \right)= \frac{\beta l^7}{36};[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MurChik "Спасибо" сказали: carti539 |
||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Момент инерции
в форуме Интегральное исчисление |
15 |
690 |
21 апр 2014, 17:16 |
|
Момент инерции
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
374 |
23 фев 2017, 20:31 |
|
Момент инерции
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
591 |
16 янв 2015, 21:50 |
|
Момент инерции
в форуме Механика |
1 |
259 |
20 дек 2020, 16:59 |
|
Момент инерции
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
190 |
21 май 2017, 23:33 |
|
Момент инерции
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
245 |
23 май 2016, 21:34 |
|
Момент инерции
в форуме Механика |
3 |
760 |
17 май 2015, 11:42 |
|
Момент инерции стержня
в форуме Механика |
2 |
406 |
14 июн 2015, 22:46 |
|
Момент инерции стержня
в форуме Механика |
1 |
225 |
05 ноя 2019, 23:17 |
|
Найти момент инерции
в форуме Механика |
0 |
293 |
27 май 2018, 16:30 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: pirog и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |