Тривиумы (подборки задач)

Очень давно знаю про тривиум Арнольда, даже решал оттуда какие то задачи, еще решал тривиум Вербицкого, Каледина и вот стало интересно есть ли еще какие то такие подборки задач, нацеленные на проверку чего то как в представленных, может у известных математиков или у участников форума или еще у кого

Поскольку других (кроме упомянутых в первом посту) тривиумов не знаю, решил начать писать свой. Извиняюсь за наглость Поскольку сам сочинять задачи не умею, буду размещать тут, подсмотренные в другом месте. Задачи буду размещать в надежде, что сам их когда-нибудь решу. Собственно, для того и затеял это.

Для начала две задачи по пределам, взятые из учебника Дороговцева.

Задача 1. Пусть [math]x_1>0[/math] и [math]x_{n+1}=\ln (1+x_n)[/math] для [math]n \geqslant 1[/math] . Доказать , что [math]nx_n\to 2[/math] при [math]n \to \infty[/math] .

Задача 2. Пусть [math]x_1>0[/math] и [math]x_{n+1}=\operatorname{arctg} x_n[/math] для [math]n \geqslant 1[/math] . Доказать, что [math]x_n \sqrt{n} \to \sqrt{3\slash2}[/math] при [math]n \to \infty[/math] .

Следующая задача подсмотрена на форуме dxdy.

Задача 3. Пусть [math]x_1=1[/math] и [math]x_{n+1}=\sin x_n[/math] для [math]n \geqslant 1[/math] . Сходится ли ряд [math]S=\sum\limits_{n=1}^{ \infty } x_n[/math] ?

Сразу извинюсь за тривиальность следующей задачи (поэтому номер ей не ставлю). Однако, кое для кого она оказалось не такой уж и тривиальной. Да и тема у нас "тривиумы".

Борис Бояршинов, известный блогер и популяризатор науки, решает задачу с устного вступительного экзамена МГУ https://www.youtube.com/watch?v=slJ_n8ACkVc . Требуется доказать, что [math]\sum\limits_{n=1}^{1000} \frac{ 1 }{ n^3+3n^2+2n } < \frac{ 1 }{ 4 }[/math] . У меня сразу мысль, что дробь в сумме разлагается на простейшие дроби, после чего практически всё сокращается. Однако Бояршинов пошёл своей интересной дорогой, оценивая нашу сумму через дзета-функцию Римана [math]\zeta (3) \approx 1.2[/math] .