Список статей » Список форумов » Высшая математика » Дифференциальные и Интегральные уравнения

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Интегрирование дифференциального уравнения

Модераторы: Prokop, mad_math

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 8 ]

Для печати

Пред. тема | След. тема

Автор

Сообщение

Gliese581c

Заголовок сообщения: Интегрирование дифференциального уравнения

Добавлено: 24 май 2023, 20:55

Начинающий

Зарегистрирован:
24 май 2023, 20:34
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Здравствуйте.

Прошу подсказать, куда двигаться. Понадобилось восстановить знания теормеха и необходимо мне найти зависимость угла поворота от времени [math]f(t) = \varphi[/math]

Для этого, как мне кажется, необходимо проинтегрировать две части уравнения:

[math]\frac{d^{2} \varphi }{ \varphi }[/math] = [math]dt^{2}[/math]

С правой частью мне вроде понятно: [math]\frac{ t^{3} }{ 3 }+C[/math],
а вот с левой - остаточных знаний математики не хватает, да и что-то не могу загуглить...

Нужно два раза интегрировать уравнение?

Вернуться к началу

michel

Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения

Добавлено: 24 май 2023, 21:11

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7356
Cпасибо сказано: 223
Спасибо получено:
2648 раз в 2441 сообщениях
Очков репутации: 445

Gliese581c писал(а):

Нужно два раза интегрировать уравнение?

Да, поэтому, что Вы написали выше с интегрированием правой части, является неверным.
Уравнение второго порядка нельзя сразу привести к отдельным дифференциалам.
Если я правильно понял, у Вас задано уравнение:[math]\varphi ''= \varphi[/math]?
И какие начальные условия ещё заданы?

Вернуться к началу

Gliese581c

Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения

Добавлено: 24 май 2023, 21:22

Начинающий

Да, уравнение к которому я пришёл выглядит так: [math]\varphi '' = a\varphi[/math]

Я попытался разложить [math]\varphi '' = \frac{ d^{2} \varphi }{ dt^{2} }[/math]

Есть условия начального положения угла и начальной угловой скорости.

Видимо нужно было решить дифференциальное уравнение второго порядка, а не раскладывать?

Вернуться к началу

michel

Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения

Добавлено: 24 май 2023, 21:39

Последняя инстанция

Уравнения типа [math]\varphi ''-k^2 \varphi =0[/math] решаются по стандартному алгоритму через характеристическое уравнение: [math]\lambda ^2-k^2=0[/math] с корнями [math]\lambda _{1,2}= \pm k[/math], что приводит к следующему общему решению: [math]\varphi (t)=C_1e^{kt}+C_2e^{-kt}[/math]. Дальше надо подставлять начальные условия для [math]\varphi[/math] и её первой производной...

Вернуться к началу

За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Gliese581c

Gliese581c

Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения

Добавлено: 24 май 2023, 21:57

Начинающий

Спасибо, я уже читаю как решать такие диффуры (да и калькулятор нашёл).

И вот ещё вопрос возник.

А что если представить [math]\varphi ''[/math] как [math]\frac{ d \omega }{ dt }[/math], тогда получиться следующее:

[math]\frac{ d \omega }{ dt } = a \varphi[/math]

[math]d \omega = a \varphi dt[/math]

Тогда [math]\omega =a \varphi t + C[/math] или, так как [math]\varphi[/math] функция от t, то так нельзя делать?

Прошу прощения, если этот момент выходит за рамки математики...

Вернуться к началу

michel

Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения

Добавлено: 24 май 2023, 22:12

Последняя инстанция

Gliese581c писал(а):

то так нельзя делать?

Совершенно правильно заметили, потому что [math]\varphi[/math] является не постоянной величиной, а функцией времени, к тому же неизвестной, чтобы её сразу можно было проинтегрировать справа!

Вернуться к началу

MurChik

Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения

Добавлено: 25 май 2023, 07:38

Профи

Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 301
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
103 раз в 96 сообщениях
Очков репутации: 13

Можно так сделать.

[math]\frac{d\varphi}{dt}=\omega(\varphi)\quad \Rightarrow \quad[/math][math]\frac{d^2\varphi}{dt^2} =\frac{d\omega}{dt}=\frac{d\omega}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=
\omega\frac{d\omega}{d\varphi} \quad \Rightarrow \quad
\omega\frac{d\omega}{d\varphi}=a\varphi \quad \Rightarrow \quad
\omega d\omega=a\varphi d\varphi \quad \Rightarrow \quad
\omega^2=a\varphi^2+C_1[/math]

[math]\omega=\sqrt{a\varphi^2+C_1} \quad \Rightarrow \quad
\frac{d\varphi}{dt}=\sqrt{a\varphi^2+C_1} \quad \Rightarrow \quad
dt=\frac{d\varphi}{\sqrt{C_1+a\varphi^2}} \quad \Rightarrow \quad
t=\int{\frac{d\varphi}{\sqrt{C_1+a\varphi^2}}}+C_2[/math]

Вернуться к началу

За это сообщение пользователю MurChik "Спасибо" сказали:
Gliese581c

Gliese581c

Заголовок сообщения: Re: Интегрирование дифференциального уравнения

Добавлено: 25 май 2023, 16:34

Начинающий

MurChik писал(а):

▼

Да, спасибо! Именно так и решается. Я только что набрел на данный способ решение всех задач такого типа. Я уж с горя пытался решить через кинетическую энергию, но так как там выходили функции, тоже надо было интегрировать.

Хотел было закрыть эту тему, написав, что нужно добавить [math]\frac{ d \varphi }{ d \varphi }[/math], а вы уже всё написали за меня.

Вот вам в благодарность математический анекдот, может не знаете, мне показался хорошим...

▼ Анекдот

Рабочий роет котлован, гнёт об породу инструмент. Вот какая неудачная ситуация, думает, отковыривает кусок породы и даёт бригадиру:
— Вот об эту елду, Кузьмич, инструмент сломал, туды её в качель.
— Странно! Вроде должон инструмент всё молоть!
Бригадир приходит к инженеру и говорит:
— Михаил Максимыч, мы тут при ройке котлована, об эту руду инструмент погнули. Примите меры, а то не можем инструментом рисковать.
— Странно, по спецификациям инструмент должен быть крепче!
Приносит инженер кусок породы физику и говорит:
— Посмотрите, Геннадий Саввович, что это за руда крепче стального сплава №ххх с алмазным покрытием.
— Странно! Судя по пористой структуре эта порода должна быть очень хрупкой!
Подходит физик к теоретику:
— Герман, а как это может фрактальная сводчатая микроструктура оксида металла сопровождаться сильно плотным электронным распределением электронов связи типа так, что атомы связываются крепче чем в кристалле алмаза?
— Странно! В работе N в семидесятых было показано, что блоховское решение для случая квазипериодической решётки, к которой NN свёл фрактальную структуру, реализует квазинепрерывную плотность состояний Zagge для тетраэдрических решёток!
Идёт теоретик к математику спрашивает:
— Слушай, Саня, а разве учёт членов выше третьего порядка может привести к появлению серии решений уравнения NNN в случае NNNN с нелинейной правой частью?
— Да, там есть такой вариант, если асимптотически третье слагаемое стремится к нулю на бесконечности не хуже чем минус вторая степень.
— Ааа, Гена как раз и говорил, что там дисперсия пор нетипично узкая. Понятно, спасибо.
Ловит теоретик физика в коридоре и объясняет:
— Если дисперсия пор невелика, то фрактальная пористая структура сводится к тетраэдрической сингонии квазикристалла, а не к гексагональной.
— Ааа, то есть мы тут имеем дело с губками первого рода. Понятно, пустим проект алмазного покрытия NNNNN, они достаточно крепкие должны быть.
Рассказывает физик инженеру:
— Мы тут доработали алмазное покрытие, должно теперь эту породу брать. Вот вам несколько опытных образцов, опробуйте.
— А что это за руда была?
— Да там поры мелкие слишком.
— Ааа, то есть просто своды крепче. Понятно, ну пока этим подолбим.
Отдаёт инженер бригадиру новый инструмент:
— Иван Кузьмич, вот новый инструмент, его лучше покрыли.
— Ааа, так там просто покрытие плохое было! Спасибо, а то я за сохранность инструмента не могу отвечать, когда его чёрти–как покрывают.
Даёт бригадир рабочему инструмент:
— Держи, на этот инструмент покрышки не скупили.
— Ааа, так там просто жиды полировку пожалели! Эх, развалили страну

Вернуться к началу

Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Интегрирование уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	Gargantua	4	298	08 янв 2016, 13:34
Решение дифференциального уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	Matemat121212	1	353	07 июн 2015, 12:27
Решение дифференциального уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	Matemat121212	0	238	07 июн 2015, 12:25
Решение дифференциального уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	Matemat121212	1	328	07 июн 2015, 12:24
Решение дифференциального уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	distvamp	2	451	08 фев 2017, 15:32
Решение Дифференциального уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	Brodyga12388	7	153	28 дек 2022, 22:49
Линеаризация дифференциального уравнения в форуме Дифференциальное исчисление	Knyazhskiy	0	335	20 июл 2016, 18:08
Исследование дифференциального уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	Vasya_VS	1	261	15 дек 2018, 16:54
Решение дифференциального уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	PavelFedorov	3	173	17 янв 2022, 19:35
Вычисление дифференциального уравнения в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения	agony	1	286	16 июн 2014, 16:34

Список статей » Список форумов » Высшая математика » Дифференциальные и Интегральные уравнения

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Перейти: