Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 24 июн 2022, 13:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2022, 12:30
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!
Объясните,почему линейные неоднородные диффуры y[math]'[/math] + p(x) * y = k(x) решаются следующим образом:
За y берем произведения u*v, получается
y[math]'[/math] = u[math]'[/math] * v + u * v[math]'[/math], далее
u[math]'[/math]* v + u * v[math]'[/math] + p(x) * u * v = k(x), далее
u[math]'[/math] *v + u(v[math]'[/math] + p(x)*v) = k(x), и мы тут делаем так,
что если v[math]'[/math] + p(x)*v равно 0 (=0), то u[math]'[/math] *v равно k(x) (=k(x)), и решаем систему уравнений.
Но ведь дело в том что, это всего лишь одно из решений. почему мы как бы выкидываем ряд других решений?
Вспомним, как решается обычное уравнение:
x[math]^{3}[/math] + 10 + x * (y-1) = 17.
Мы же не делаем так:
y-1 равно 0 (=0), тогда остальная часть x[math]^{3}[/math] + 10 равна 17 (=17). То есть это будет решением, но не одним же.
А в диффурах почему то смело так решаем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 24 июн 2022, 14:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hoperkrot писал(а):
Но ведь дело в том что, это всего лишь одно из решений. почему мы как бы выкидываем ряд других решений?

Потому что в данном контексте одна переменная [math]v[/math] является дополнительной (после наложения дополнительного условия v′ + p(x)*v = 0), а основной переменной будет [math]u[/math]. Кроме этого, не может быть в решении уравнения первого порядка двух разных констант.
Вообще надо понимать, что если вместо одной переменной [math]y[/math] вводятся две новые переменные [math]u[/math] и [math]v[/math], то надо сделать выбор дополнительного условия, которое однозначно (поэтому констант быть не может) определяет одну из этих переменных, чтобы вернуться к уравнению для оставшейся переменной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 24 июн 2022, 15:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2022, 12:30
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
мягко сказать,не понял. Какие еще дополнительные и основные переменные. Если по факту, они равнозначные.
К примеру, из обычного уравнения
15 = x*y.
Тогда как x =3, y = 5 может быть, так и x = 5, y = 3 может быть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 24 июн 2022, 18:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hoperkrot писал(а):
Какие еще дополнительные и основные переменные

Была одна функция [math]y[/math], вместо него ввели сразу две новые переменные [math]y=u+v[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 26 июн 2022, 09:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2022, 12:30
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
все равно не понял.
ну я не правильно написал, надо было лучше с суммой, к примеру:
x + y = 20, мы постулируем что если y = 0, то x =20.
Но ведь у нас могут быть и другие комбинации. 1,19 и 2,18, и 3,17 и 3.5,16.5 и т.д
А мы берем только одну эту комбинацию.
что u*(v[math]'[/math]) + p(x)*v) = 0, то остальное u[math]'[/math]*v = k(x)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 26 июн 2022, 12:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hoperkrot писал(а):
А мы берем только одну эту комбинацию

Для всех комбинаций с двумя новыми переменными (вместо одной исходной) вариантов бесконечное множество. Но это не имеет значения, потому что они должны давать одинаковое значение для каждой итоговой комбинации, которая возвращает нас к единственной начальной переменной. Поэтому мы можем взять любую комбинацию. В данном случае берётся комбинация с нулевой константой для переменной v, которая удовлетворяет уравнению v'+p(x)v=0. С таким же успехом можно было взять и другое значение константы, например, С=1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 26 июн 2022, 16:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 июн 2022, 12:30
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
то есть v'+p(x)v=1, а
u*v' = k(x) - u.
В том то и дело, и где гарантия, что решения такой системы уравнений будет давать тот же корень, что и при решении первой системы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 26 июн 2022, 18:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hoperkrot писал(а):
michel
то есть v'+p(x)v=1, а
u*v' = k(x) - u.
В том то и дело, и где гарантия, что решения такой системы уравнений будет давать тот же корень, что и при решении первой системы.

Вы меня поняли совсем не так! Я имел в виду, что из бесконечного множества решений уравнения v'+p(x)v=0 мы можем выбрать решение с любой константой.
А то, что Вы предлагаете, только усложняет задачу, потому что опять надо решать неоднородное уравнение!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейные дифференциальные уравнения
СообщениеДобавлено: 28 июн 2022, 10:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 июн 2022, 09:56
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите решить примеры :nails: :
1.1) [math]\int \frac{ 5x-1 }{ \sqrt{7-x^{2}-2x } }[/math]

1.2) [math]\int \frac{ (4x+10)dx }{ (x^2+x-2)(x+1) }[/math]
Заранее благодарю :blush:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения.

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

dariawinner

1

297

26 июн 2017, 00:43

Линейные уравнения.

в форуме Алгебра

Vlad Moroshan

4

402

31 янв 2018, 16:28

Линейные уравнения

в форуме Maple

Lyuda

6

672

13 май 2017, 16:42

Линейные уравнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Diana_Badikova

3

530

17 янв 2016, 19:57

Линейные уравнения и уравнения Бернулли

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

raul398

7

708

06 фев 2015, 16:48

Что это за свойство? Линейные уравнения

в форуме Алгебра

Avalanche_of_Misery

35

1321

01 май 2018, 16:46

Линейные рекуррентные уравнения

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

pushkinooo

1

194

30 май 2019, 13:28

Линейные уравнения. Методом крамера.

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kuanysh

6

428

07 окт 2016, 15:41

Когда учить линейные уравнения?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Anton98

2

286

26 янв 2017, 15:12

Решить линейные диф уравнения с постоянными коэффициентами

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Belor

5

365

13 ноя 2015, 17:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved