Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить дифф уравнение методом понижения порядка
СообщениеДобавлено: 22 июн 2022, 23:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 июн 2022, 19:52
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
y''=y'*e[math]^{3y}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить дифф уравнение методом понижения порядка
СообщениеДобавлено: 23 июн 2022, 08:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стандартная замена [math]p(y)=y'[/math] приводит к уравнению [math]p\cdot p'=p\cdot e^{3y}[/math], которое распадается на два простых случая.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Julia1306
 Заголовок сообщения: Re: Решить дифф уравнение методом понижения порядка
СообщениеДобавлено: 24 июн 2022, 23:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Итак, дан дифур [math]\frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{d y}{d x} e^{3y}.[/math] Определим вспомогательную функцию [math]U(y)=\frac{d y}{d x} .[/math] Тогда

[math]\frac{dU}{dx}=\frac{dU}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dU}{dy}U(y)=\frac{d^2y}{dx^2},[/math] откуда [math]\frac{dU}{dy}U=Ue^{3y}.[/math] Решение: [math]U(y)=\frac{e^{3y+k} }{3}.[/math]

Далее: [math]\frac{dy}{dx}=\frac{e^{3y}+k}{3} \Longrightarrow \int \frac{3dy}{e^{3y}+k}=x+c.[/math]

Замена переменных: [math]e^{3y}+k=z \Longrightarrow 3y=\ln{\left( z-k\right) } \Longrightarrow 3dy=\frac{dz}{z-k}.[/math] Тогда интеграл равен [math]\int \frac{dz}{\left( z-k \right)z}.[/math] Разложение подинтегральной функции на простые дроби дает: [math]\frac{1}{(z-k)z}=\frac{1}{k(z-k)}-\frac{1}{kz},[/math] откуда интеграл равен

[math]\frac{1}{k}\int \frac{dz}{z-k}-\frac{1}{k}\int \frac{dz}{z}=\frac{\ln{(z-k)}-\ln{z}}{k}=\frac{\ln{\left( e^{3y} \right)}-\ln{\left( e^{3y}+k \right)}}{k}=\frac{1}{k}\ln{\frac{e^{3y}}{e^{3y}+k}}.[/math] Таким образом [math]\ln{\frac{e^{3y}}{e^{3y}+k}}=k(x+c) \Longrightarrow \frac{e^{3y}}{e^{3y}+k}=e^{k(x+c)},[/math] откуда, после нескольких элементарных преобразований, окончательное решение

[math]y=\frac{1}{3}\ln{\frac{ke^{k(x+c)}}{1-e^{k(x+c)} } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить дифф уравнение методом понижения порядка
СообщениеДобавлено: 25 июн 2022, 11:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Опечатка. вместо Решение: [math]U(y)=\frac{e^{3y+k}}{3}[/math] следует читать Решение: [math]U(y)=\frac{e^{3y}+k}{3}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить дифф уравнение методом понижения порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Julia1306

10

314

22 июн 2022, 23:22

Решить уравнение допускающее понижения порядка

в форуме Интегральное исчисление

Esenia2021

1

182

15 апр 2022, 23:21

Решить линейное неоднородное дифф. уравнение 2-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

Alinmora

1

325

14 мар 2017, 22:31

Решить дифф. ур-е операторным методом (найти оригинал изобр)

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Airen

3

331

14 май 2014, 14:51

Дифф уравнение 2-го порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

5

451

23 май 2018, 12:22

Дифф уравнение 2-го порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

7

348

14 дек 2017, 23:43

Дифф. уравнение второго порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

kiberchainik

2

301

13 май 2016, 22:51

Дифф. уравнение третьего порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

taburetka

3

304

01 май 2018, 17:12

Неоднородное дифф. уравнение второго порядка О_О

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Mur-mur

6

431

03 май 2014, 12:13

Дифф уравнение 2 порядка, Задача Коши

в форуме Дифференциальное исчисление

NewKarlk

1

137

05 июн 2020, 19:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved