Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Julia1306 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Стандартная замена [math]p(y)=y'[/math] приводит к уравнению [math]p\cdot p'=p\cdot e^{3y}[/math], которое распадается на два простых случая.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Julia1306 |
||
Exzellenz |
|
|
Итак, дан дифур [math]\frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{d y}{d x} e^{3y}.[/math] Определим вспомогательную функцию [math]U(y)=\frac{d y}{d x} .[/math] Тогда
[math]\frac{dU}{dx}=\frac{dU}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dU}{dy}U(y)=\frac{d^2y}{dx^2},[/math] откуда [math]\frac{dU}{dy}U=Ue^{3y}.[/math] Решение: [math]U(y)=\frac{e^{3y+k} }{3}.[/math] Далее: [math]\frac{dy}{dx}=\frac{e^{3y}+k}{3} \Longrightarrow \int \frac{3dy}{e^{3y}+k}=x+c.[/math] Замена переменных: [math]e^{3y}+k=z \Longrightarrow 3y=\ln{\left( z-k\right) } \Longrightarrow 3dy=\frac{dz}{z-k}.[/math] Тогда интеграл равен [math]\int \frac{dz}{\left( z-k \right)z}.[/math] Разложение подинтегральной функции на простые дроби дает: [math]\frac{1}{(z-k)z}=\frac{1}{k(z-k)}-\frac{1}{kz},[/math] откуда интеграл равен [math]\frac{1}{k}\int \frac{dz}{z-k}-\frac{1}{k}\int \frac{dz}{z}=\frac{\ln{(z-k)}-\ln{z}}{k}=\frac{\ln{\left( e^{3y} \right)}-\ln{\left( e^{3y}+k \right)}}{k}=\frac{1}{k}\ln{\frac{e^{3y}}{e^{3y}+k}}.[/math] Таким образом [math]\ln{\frac{e^{3y}}{e^{3y}+k}}=k(x+c) \Longrightarrow \frac{e^{3y}}{e^{3y}+k}=e^{k(x+c)},[/math] откуда, после нескольких элементарных преобразований, окончательное решение [math]y=\frac{1}{3}\ln{\frac{ke^{k(x+c)}}{1-e^{k(x+c)} } }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Exzellenz |
|
|
Опечатка. вместо Решение: [math]U(y)=\frac{e^{3y+k}}{3}[/math] следует читать Решение: [math]U(y)=\frac{e^{3y}+k}{3}[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решить дифф уравнение методом понижения порядка | 10 |
314 |
22 июн 2022, 23:22 |
|
Решить уравнение допускающее понижения порядка
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
182 |
15 апр 2022, 23:21 |
|
Решить линейное неоднородное дифф. уравнение 2-го порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
325 |
14 мар 2017, 22:31 |
|
Решить дифф. ур-е операторным методом (найти оригинал изобр) | 3 |
331 |
14 май 2014, 14:51 |
|
Дифф уравнение 2-го порядка | 5 |
451 |
23 май 2018, 12:22 |
|
Дифф уравнение 2-го порядка | 7 |
348 |
14 дек 2017, 23:43 |
|
Дифф. уравнение второго порядка | 2 |
301 |
13 май 2016, 22:51 |
|
Дифф. уравнение третьего порядка | 3 |
304 |
01 май 2018, 17:12 |
|
Неоднородное дифф. уравнение второго порядка О_О | 6 |
431 |
03 май 2014, 12:13 |
|
Дифф уравнение 2 порядка, Задача Коши
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
137 |
05 июн 2020, 19:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 29 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |