Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Andrey82 |
|
|
[math]M = t- s[/math] [math]N = t[/math] [math]\frac{\partial M}{\partial s} = -1[/math] [math]\frac{\partial N}{\partial t} = 1[/math] Уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Найдем интегрирующий множитель. [math]M\frac{\partial \mu }{\partial s} - N\frac{\partial \mu }{\partial t} = \mu\left( \frac{\partial N}{\partial t} - \frac{\partial M}{\partial s} \right) \Rightarrow \left( t- s \right) \frac{\partial \mu }{\partial s} - t\frac{\partial \mu }{\partial t} = \mu\left( 1 - \left( -1 \right) \right) = 2 \mu \Rightarrow \left( t- s \right) \frac{\partial \ln{\mu} }{\partial s} - t\frac{\partial \ln{\mu} }{\partial t} = 2[/math] В учебнике говорится Цитата: Пусть, например, уравнение (1) допускает интегрирующий множитель, зависящий только от [math]y[/math]. Тогда.... Не понятно тут, на основании чего я должен заключить, что исходное уравнение допускает множитель, зависящий только от одной переменной? Наугад предположить? А потом по факту смотреть? Пусть [math]\frac{\partial \ln{ \mu } }{\partial s} = 0[/math] тогда [math]\frac{\partial \ln{\mu} }{\partial t} = - \frac{ 2 }{ t }[/math] [math]\ln{ \mu } = \ln{t^{-2} }[/math] [math]\mu = t^{-2}[/math] Подставим множитель в исходное уравнение. [math]\frac{ 1 }{ t^{2} } \left( t - s \right)dt + \frac{ 1 }{ t } ds = 0 \Rightarrow \left( \frac{ 1 }{ t } - \frac{ s }{ t^{2} } \right) dt + \frac{ 1 }{ t }ds =0[/math] [math]\frac{\partial M}{\partial s} = \frac{\partial \left( \frac{ 1 }{ t } - \frac{ s }{ t^{2} } \right)}{\partial s} =-\frac{ 1 }{ t^{2} }[/math] [math]\frac{\partial N}{\partial t} = \frac{\partial \left( t^{-1} \right) }{\partial t} = -\frac{ 1 }{ t^{2} }[/math] Получили уравнение в полных дифференциалах. Значит можем записать: [math]\left( t - s \right) = \frac{\partial u}{\partial t} \Rightarrow du = \left( t - s \right) dt \Rightarrow u = \int \left( t - s \right)dt + \varphi \left( s \right) = \frac{ t^{2} }{ 2 } - st + \varphi \left( s \right)[/math] Чтобы найти неизвестную функцию [math]\varphi \left( s \right)[/math] продифференцируем последнее уравнение по [math]s[/math] [math]\frac{\partial u}{\partial s} = \int \frac{\partial \left( t - s \right) }{\partial s}dt + \varphi '\left( s \right) = -t + \varphi '\left( s \right)[/math] В тоже время, [math]\frac{\partial u}{\partial s} = N = t[/math] Откуда, [math]-t + \varphi '\left( s \right) = t \Rightarrow \varphi \left( s \right) = t^{2}[/math] Окончательно получаем: [math]\frac{ t^{2} }{ 2 } - st + t^{2} =C[/math] [math]\frac{ 3 }{ 2 }t - s =C[/math] В учебнике даны два возможных ответа: [math]te^{ s\slash t } = C[/math] и [math]s = t\ln{\frac{ C }{ t } }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Ellipsoid |
|
|
Зачем так сложно? Сводится уравнению с разделяющимися переменными заменой [math]\frac{s}{t}=y(t)[/math], где [math]s=s(t)[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали: Andrey82 |
||
Andrey82 |
|
|
Ellipsoid писал(а): Зачем так сложно? Сводится уравнению с разделяющимися переменными заменой [math]\frac{s}{t}=y(t)[/math], где [math]s=s(t)[/math]. Сам не знаю зачем |
||
Вернуться к началу | ||
Andrey82 |
|
|
Ellipsoid писал(а): Зачем так сложно? Сводится уравнению с разделяющимися переменными заменой [math]\frac{s}{t}=y(t)[/math], где [math]s=s(t)[/math]. Но все-таки, в чем у меня ошибка,- нетрудно увидеть? |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Значит можем записать … и дальше неверно: забыли интегрирующий множитель 1/t^2
u= Интеграл (t-s)*(1/t^2)dt |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Andrey82 |
||
pewpimkin |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Andrey82 |
|
|
pewpimkin писал(а): Спасибо) |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Пожалуйста
|
||
Вернуться к началу | ||
Andrey82 |
|
|
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Никак. Такого выражения в природе не существует
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Andrey82 |
||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Диффур | 3 |
304 |
29 май 2016, 12:17 |
|
Диффур | 1 |
243 |
29 май 2015, 15:22 |
|
Диффур 3 | 4 |
399 |
02 дек 2016, 07:36 |
|
Диффур 5 | 2 |
222 |
02 дек 2016, 19:56 |
|
Диффур | 1 |
248 |
01 май 2015, 18:01 |
|
Диффур
в форуме Дифференциальное исчисление |
36 |
1571 |
01 апр 2015, 15:52 |
|
Диффур
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
372 |
25 мар 2015, 13:02 |
|
Что за диффур? | 19 |
832 |
19 янв 2015, 11:42 |
|
Диффур
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
240 |
17 янв 2015, 13:25 |
|
Диффур
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
221 |
05 янв 2015, 13:25 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |