Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 31 авг 2021, 22:12 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 фев 2020, 14:19
Сообщений: 820
Cпасибо сказано: 174
Спасибо получено:
34 раз в 31 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left( t - s \right)dt + tds = 0[/math]

[math]M = t- s[/math]

[math]N = t[/math]

[math]\frac{\partial M}{\partial s} = -1[/math]

[math]\frac{\partial N}{\partial t} = 1[/math]

Уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем интегрирующий множитель.

[math]M\frac{\partial \mu }{\partial s} - N\frac{\partial \mu }{\partial t} = \mu\left( \frac{\partial N}{\partial t} - \frac{\partial M}{\partial s} \right) \Rightarrow \left( t- s \right) \frac{\partial \mu }{\partial s} - t\frac{\partial \mu }{\partial t} = \mu\left( 1 - \left( -1 \right) \right) = 2 \mu \Rightarrow \left( t- s \right) \frac{\partial \ln{\mu} }{\partial s} - t\frac{\partial \ln{\mu} }{\partial t} = 2[/math]

В учебнике говорится
Цитата:
Пусть, например, уравнение (1) допускает интегрирующий множитель, зависящий только от [math]y[/math]. Тогда....


Не понятно тут, на основании чего я должен заключить, что исходное уравнение допускает множитель, зависящий только от одной переменной? Наугад предположить? А потом по факту смотреть?

Пусть

[math]\frac{\partial \ln{ \mu } }{\partial s} = 0[/math]

тогда

[math]\frac{\partial \ln{\mu} }{\partial t} = - \frac{ 2 }{ t }[/math]

[math]\ln{ \mu } = \ln{t^{-2} }[/math]

[math]\mu = t^{-2}[/math]

Подставим множитель в исходное уравнение.

[math]\frac{ 1 }{ t^{2} } \left( t - s \right)dt + \frac{ 1 }{ t } ds = 0 \Rightarrow \left( \frac{ 1 }{ t } - \frac{ s }{ t^{2} } \right) dt + \frac{ 1 }{ t }ds =0[/math]

[math]\frac{\partial M}{\partial s} = \frac{\partial \left( \frac{ 1 }{ t } - \frac{ s }{ t^{2} } \right)}{\partial s} =-\frac{ 1 }{ t^{2} }[/math]

[math]\frac{\partial N}{\partial t} = \frac{\partial \left( t^{-1} \right) }{\partial t} = -\frac{ 1 }{ t^{2} }[/math]

Получили уравнение в полных дифференциалах. Значит можем записать:

[math]\left( t - s \right) = \frac{\partial u}{\partial t} \Rightarrow du = \left( t - s \right) dt \Rightarrow u = \int \left( t - s \right)dt + \varphi \left( s \right) = \frac{ t^{2} }{ 2 } - st + \varphi \left( s \right)[/math]

Чтобы найти неизвестную функцию [math]\varphi \left( s \right)[/math] продифференцируем последнее уравнение по [math]s[/math]

[math]\frac{\partial u}{\partial s} = \int \frac{\partial \left( t - s \right) }{\partial s}dt + \varphi '\left( s \right) = -t + \varphi '\left( s \right)[/math]

В тоже время, [math]\frac{\partial u}{\partial s} = N = t[/math]

Откуда,

[math]-t + \varphi '\left( s \right) = t \Rightarrow \varphi \left( s \right) = t^{2}[/math]

Окончательно получаем:

[math]\frac{ t^{2} }{ 2 } - st + t^{2} =C[/math]

[math]\frac{ 3 }{ 2 }t - s =C[/math]

В учебнике даны два возможных ответа:

[math]te^{ s\slash t } = C[/math]

и

[math]s = t\ln{\frac{ C }{ t } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 31 авг 2021, 23:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Зачем так сложно? Сводится уравнению с разделяющимися переменными заменой [math]\frac{s}{t}=y(t)[/math], где [math]s=s(t)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Andrey82
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 31 авг 2021, 23:35 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 фев 2020, 14:19
Сообщений: 820
Cпасибо сказано: 174
Спасибо получено:
34 раз в 31 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
Зачем так сложно? Сводится уравнению с разделяющимися переменными заменой [math]\frac{s}{t}=y(t)[/math], где [math]s=s(t)[/math].

Сам не знаю зачем :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 31 авг 2021, 23:37 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 фев 2020, 14:19
Сообщений: 820
Cпасибо сказано: 174
Спасибо получено:
34 раз в 31 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
Зачем так сложно? Сводится уравнению с разделяющимися переменными заменой [math]\frac{s}{t}=y(t)[/math], где [math]s=s(t)[/math].

Но все-таки, в чем у меня ошибка,- нетрудно увидеть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 01 сен 2021, 01:10 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7347
Cпасибо сказано: 471
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Значит можем записать … и дальше неверно: забыли интегрирующий множитель 1/t^2
u= Интеграл (t-s)*(1/t^2)dt

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Andrey82
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 01 сен 2021, 16:03 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7347
Cпасибо сказано: 471
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 01 сен 2021, 20:37 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 фев 2020, 14:19
Сообщений: 820
Cпасибо сказано: 174
Спасибо получено:
34 раз в 31 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
Изображение

Спасибо)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 01 сен 2021, 20:40 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7347
Cпасибо сказано: 471
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 23 окт 2021, 17:22 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
05 фев 2020, 14:19
Сообщений: 820
Cпасибо сказано: 174
Спасибо получено:
34 раз в 31 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не соображу, как в вольфраме прописать
[math]\int \frac{ x }{ dx }[/math]
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Диффур 8
СообщениеДобавлено: 23 окт 2021, 18:31 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7347
Cпасибо сказано: 471
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Никак. Такого выражения в природе не существует

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Andrey82
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Диффур

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Mobile

3

304

29 май 2016, 12:17

Диффур

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

photographer

1

243

29 май 2015, 15:22

Диффур 3

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

photographer

4

399

02 дек 2016, 07:36

Диффур 5

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

photographer

2

222

02 дек 2016, 19:56

Диффур

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

photographer

1

248

01 май 2015, 18:01

Диффур

в форуме Дифференциальное исчисление

photographer

36

1570

01 апр 2015, 15:52

Диффур

в форуме Дифференциальное исчисление

photographer

3

372

25 мар 2015, 13:02

Что за диффур?

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Fennady

19

832

19 янв 2015, 11:42

Диффур

в форуме Дифференциальное исчисление

lizasimpson

1

240

17 янв 2015, 13:25

Диффур

в форуме Дифференциальное исчисление

photographer

1

221

05 янв 2015, 13:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved