Если на границе области в виде гладкого контура задается произвольная непрерывная функция, то в результате решения не получается гармоническая функция. Т.е. сумма ее вторых частных производных по Х и по У не равна нулю. И это при том, что по Фуксу и Шабату (Функции комплексного переменного, Гостехтеориздат, 1949г., с. 204), если на границе гладкой области задается произвольная непрерывная функция, то функция Грина, являющаяся решением задачи Дирихле, будет давать гармоническое решение. Однако если задается заведомо гармоническая функция, то равенство нулю имеется с высокой точностью. В чем причина?
Дополнение. Если областью является единичный круг, то по формуле Пуассона получается то же самое: если на контуре гармоническая функция, то и в области она гармоническая; если произвольная – то нет.